Zapisać zdanie: Nikt nie zna wszystkich, którzy go znają...

[kondzixd]

Witam. Już jakiś czas nie zajmowałem się kwantyfikatorami.
Zad.
W zbiorze wszystkich ludzi określamy predykat \(\displaystyle{ Z}\) : \(\displaystyle{ xZy \Leftrightarrow x\mbox{ zna }y}\).
Używając jedynie symboli \(\displaystyle{ Z}\), zmiennych \(\displaystyle{ x,y,z...}\), spójników zdaniowych, kwantyfikatorów i nawiasów napisać zdanie: Nikt nie zna wszystkich, którzy go znają.

No i zacząłem od końca, czyli zapisałem relacje że istnieje pewien \(\displaystyle{ x}\) dla którego istnieje pewien \(\displaystyle{ y}\) taki że \(\displaystyle{ x}\) zna \(\displaystyle{ y}\), ale jak zapisać że nikt kto zna \(\displaystyle{ y}\) nie zna wszystkich \(\displaystyle{ x}\).

\(\displaystyle{ \bigvee _{x} \bigvee_{y} \left( Z \left( x,y \right) \wedge \neg \bigvee _{z} \bigwedge _{x} \left( Z \left( x,y \right) \wedge Z \left( z,x \right) \right) \right)}\)

Co wy na to?

[jarek4700]

Pisząc bardziej "matematycznie" to można powiedzieć że dla każdej osoby \(\displaystyle{ x}\) istnieje osoba \(\displaystyle{ y}\), taka że \(\displaystyle{ y}\) zna \(\displaystyle{ x}\) i nieprawda, że \(\displaystyle{ x}\) zna \(\displaystyle{ y}\).

[Jan Kraszewski]

Źle. To ma niewiele wspólnego z tym, co miałeś napisać.

Zrób tak:

Nieprawda, że istnieje osoba, która zna wszystkich, którzy ją znają.

Czyli

Nieprawda, że (istnieje osoba \(\displaystyle{ x}\) taka, że dla każdej osoby \(\displaystyle{ y}\), jeśli \(\displaystyle{ y}\) zna \(\displaystyle{ x}\), to \(\displaystyle{ x}\) zna \(\displaystyle{ y}\)).

JK

[kondzixd]

Faktycznie, niepotrzebnie sobie to skomplikowałem. Zrozumiałem zdanie jako: nie ma osoby która zna wszystkich, którzy znają jakąś osobę

\(\displaystyle{ \neg \bigvee_{x} \bigwedge _{y} (Z(y,x) \rightarrow Z(x,y))}\)

Zapisałem to co napisałeś, ale jeszcze muszę to do końca zrozumieć np. dlaczego musi być implikacja zamiast koniunkcji.

[Jan Kraszewski]

Zapisałem to co napisałeś, ale jeszcze muszę to do końca zrozumieć np. dlaczego musi być implikacja zamiast koniunkcji.

Bo kwantyfikator ogólny występuje tylko w związkach z implikacją, nigdy z koniunkcją. Z koniunkcją związany jest kwantyfikator szczegółowy (skojarzenie: kwantyfikatory ograniczone).

Jak wyjdziesz z negacją pod kwantyfikatory, to dostaniesz to, co napisał jarek4700.

JK