Obliczyć czas od zwarcia oporem

[puma941]

Po jakim czasie od zwarcia oporem \(\displaystyle{ R=1M\Omega}\) napięcie na okładkach kondensatora o pojemności \(\displaystyle{ C=1\mu F}\) spadnie \(\displaystyle{ e}\)-krotnie?

[mdd]

[SlotaWoj]

Jeżeli kondensator o pojemności \(\displaystyle{ C}\) jest naładowany ładunkiem \(\displaystyle{ Q}\), to na jego okładkach występuje pewne (proporcjonalne) napięcie \(\displaystyle{ U}\) i w momencie zwarcia oporem (rezystancją) \(\displaystyle{ R}\) pojawi się na nim (tym oporze) taki sam spadek napięcia spowodowany przez płynący przezeń prąd rozładowania \(\displaystyle{ I}\). W miarę rozładowywania kondensatora napięcie na jego okładkach, a więc także prąd rozładowania będą maleć. Wniosek: obie te są funkcjami czasu. Można na podstawie ww. informacji wyprowadzić następujące równanie różniczkowe:

• \(\displaystyle{ U=\frac{Q}{C} = IR = \frac{dQ}{dt}R \quad \Rightarrow \quad \frac{dQ(t)}{dt} = -\frac{1}{RC} \cdot Q(t) = -\frac{1}{T} \cdot Q(t)}\)

Jest to równanie tzw. członu inercyjnego pierwszego rzędu. Występujący w równaniu znak minus wynika z równowagi napięć (\(\displaystyle{ \sum U_i=0}\)) , a wielkość \(\displaystyle{ T=RC}\) jest nazywana stałą czasową i jest ważnym parametrem charakteryzującym układy tego typu. Rozwiązaniem ww. równania są następujące funkcje czasu:

• \(\displaystyle{ Q(t)=Q_0 \cdot e^{-\frac{t}{T}} \qquad U(t)=U_0 \cdot e^{- \frac{t}{T}}}\)

Druga z tych funkcji powstaje w pierwszej po podstawieniu \(\displaystyle{ U=Q/C}\), a \(\displaystyle{ Q_0}\) i \(\displaystyle{ U_0}\) są początkowymi (przed zwarciem) wartościami ładunku i napiecia kondensatora.

W zadaniu należy wyznaczyć czas \(\displaystyle{ t_c}\), po którym \(\displaystyle{ U(t_c)= \frac{U_0}{c}}\) .