jak udowodnić tą nierówność

[domel666]

Mam kłopoty z takim zadaniem:
Udowodnij, że dla każdej dodatniej liczby naturalnej n suma odwrotnośći pierwiastków kwadratowych z licz naturalnych od 1 do n jest nie mniejsza od pierwiastka kwadratowego z liczby n.

Ja zacząłem następująco:
\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{1}{1}}+\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{\frac{1}{3}}+...+\sqrt{\frac{1}{n}}\geq\sqrt{n}}\)

Tylko nie wiem jak to odpowiednio udowodnić Być może popełniłem gdzieś błąd tworząć tą nierówność na podstawie treści zadania.

[_el_doopa]

indukcja
wtsraczy pokazac ze
\(\displaystyle{ sqrt{1 \over n+1}>sqrt{n+1}-sqrt{n}}\)
\(\displaystyle{ 1>n+1-sqrt{n^2+n}}\)
\(\displaystyle{ sqrt{n^2+n}>n}\)
\(\displaystyle{ n^2+n>n^2}\)

[domel666]

Skąd to się wzieło???

[DEXiu]

W tym miejscu był błąd, więc co by nie zgorszyć i nie mylić innych usunąłem treść posta - korekta znajduje się poniżej

[domel666]

No tak. Z treści zadania wynikałoby, że zadanie trudne, ale po dokładnym przeanalizowaniu jest to zwykłe zadanie z indukcją matematyczną. No tylko ten nieszczęsny pierwiastek

[Tomasz Rużycki]

DEXiu: Zdefiniuj równoważnik tezy:)

Po drugie - od kiedy można odejmować nierówności stronami?

[g]

a tu ktos cos odejmuje?

[Tomasz Rużycki]

A wzięła się ona stąd, że korzystamy z założenia indukcyjnego (druga linijka poniżej) odejmujemy je obustronnie od tezy indukcyjnej

[g]

a no w sumie. on odejmuje. ale ed nie odejmuje.

[DEXiu]

Definicja "równoważnika tezy" (moja ): wyrażenie będące równoważne tezie (ew. tezie i założeniu)

Faktycznie mały błąd przy odejmowaniu nierówności. Troszkę się rozpędziłem Sorry. Niemniej jednak wyszło dobrze Ale el chyba raczej korzystał z metody opisanej np. w Kourliandtchiku: jeśli dla pewnego \(\displaystyle{ m}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ a_{m}\geq b_{m}}\) oraz dla każdego \(\displaystyle{ k\geq m}\) zachodzi \(\displaystyle{ a_{k+1}-a_{k}\geq b_{m+1}-b_{m}}\) to zachodzi także \(\displaystyle{ a_{n}\geq b_{n}}\) dla każdego \(\displaystyle{ n\geq m}\). Tutaj akurat jest przyjęte
\(\displaystyle{ a_{n}=\sqrt{\frac{1}{1}}+\sqrt{\frac{1}{2}}+...+\sqrt{\frac{1}{n}}\\b_{n}=\sqrt{n}}\)

[domel666]

No to jak to jest w końcu z tym odejmowaniem stronami ???
W nierównościach można odejmować czy nie ???

[DEXiu]

Już sprostowuję. W nierównościach absolutnie nie wolno odejmować stronami - to był mój błąd (przykład: 5>4 - prawda - i 3>1 - prawda, ale 5-3=2>3=4-1 - fałsz).
Tutaj stosujemy inną technikę - jeśli wykażemy "nierówność _el_doopy" to wystarczy potem dodać stronami (to już wolno robić z nierównościami) z założeniem indukcyjnym i natychmiast dostajemy tezę indukcyjną (czyli nierówność ela to taki pomocniczy lemacik jakby). Albo jak kto woli - tezę otrzymamy też zapisując tą nierówność kolejno dla n=1,2,...,(n-1) i dodając stronami

[g]

Albo jak kto woli - tezę otrzymamy też zapisując tą nierówność kolejno dla n=1,2,...,(n-1) i dodając stronami

co na dobra sprawe tez jest indukcja.

[DEXiu]

co na dobra sprawe tez jest indukcja.

A czy ja mówię że nie?

[g]

uzywasz jezykowego rownowaznika alternatywy wykluczajacej.