Przestrzeń T1, która nie jest przestrzenią Hausdorffa

[leszczu450]

Cześć !

Szukam przykładu przestrzeni \(\displaystyle{ T_1}\), która nie jest przestrzenią Hausdorffa. Wiem, że jednym z takich przykładów, jest \(\displaystyle{ (X, \mathcal{O})}\), gdzie :

\(\displaystyle{ \mathcal{O}= \left\{ X \setminus F : \ F \ \text{jest zbiorem skończonym}\right\} \cup \left\{ \emptyset\right\}}\)

Szukam jeszcze innych przykładów.

Z góry dzięki!

[Spektralny]

Naturalnym przykładem w geometrii algebraicznej jest na rozmaitościach algebraicznych nad ciałem algebraicznie domkniętym (np. liczbami zespolonymi). Zbiory jednopunktowe są domknięte jako zera odpowiednich funkcji wielomianowych.

[leszczu450]

Spektralny, a coś prostszego ? : )

[ares41]

Prosta rzeczywista z podwojonym zerem.

[leszczu450]

ares41, a co to znaczy podwojone zero ?

[ares41]

Tutaj masz to opisane:
... wo_origins

[leszczu450]

ares41, nadal nic mi to nie mówi. Nie jestem na tyle biegły w matematycznym angielskim, żeby to zrozumieć. Po polsku bym miał problem, a co dopiero po angielsku..

[Zordon]

Takie coś:
\(\displaystyle{ X=\{0_1, 0_2\}\cup (0,\infty)}\)

Baza otoczeń punktu \(\displaystyle{ r\in (0,\infty)}\) to \(\displaystyle{ \{(a,b): 0<a<r<b\}}\)
Baza otoczeń punktu \(\displaystyle{ 0_1}\) to \(\displaystyle{ \{\{0_1\}\cup (0,b):b>0\}}\)
Baza otoczeń punktu \(\displaystyle{ 0_2}\) to \(\displaystyle{ \{\{0_2\}\cup (0,b):b>0\}}\)

[leszczu450]

Zordon, super : ) Teraz muszę jeszcze udowodnić, że to rzeczywiście jest \(\displaystyle{ T_1}\)- przestrzeń, a nie jest przestrzenią Hausdorffa.

[ares41]

To, że nie jest Hausdorffa jest oczywiste - czy te dwa zera mają rozłączne otoczenia ?

[leszczu450]

ares41, nie mają, fakt : ) Bo zawsze odcinek \(\displaystyle{ (0,b)}\) będzie w części wspólnej otoczeń. Teraz musze pokazać, że każdy zbiór jednoelementowy jest domknięty.