'Sprytna' granica funkcji

[kitiko]

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0} x^{x}=1}\)

Mógłby ktoś rozpisać jak do tego dojść? Można z tego że \(\displaystyle{ x^{x}=e^{xlnx}}\) a to przy \(\displaystyle{ x\to 0}\) wynosi \(\displaystyle{ 1}\)?

I przy okazji to, jakoś nie mogę podpasować pod Hospitala:

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \frac{ \pi }{2} }(tgx) \frac{1}{x- \frac{ \pi }{2} }}\)

[Premislav]

\(\displaystyle{ x^{x}=e^{x\ln x}}\)
I teraz przydałoby się pokazać, że \(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0^{+}} x\ln x=0}\)
A właśnie, nie powinieneś tam mieć granicy prawostronnej? Jeśli chodzi o dziedzinę funkcji potęgowej, to zazwyczaj przyjmuje się, że ogranicza się ona do argumentów rzeczywistych dodatnich.

A to drugie, to Hospital jest zbędny, podstaw \(\displaystyle{ t=x- \frac{\pi}{2}}\), rozpisz tangens na iloraz sinusa i cosinusa oraz skorzystaj ze znanej granicy \(\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h}}\)

[musialmi]

Można z tego że \(\displaystyle{ x^{x}=e^{xlnx}}\) a to przy \(\displaystyle{ x\to 0}\) wynosi \(\displaystyle{ 1}\)?

A czy \(\displaystyle{ e^{0 \cdot (- \infty)}=1}\)?

\(\displaystyle{ \left( - \frac 12\right)^x \le x^x \le \left( \frac 12\right)^x}\) dla \(\displaystyle{ x \in \left( -\frac 12, \frac 12\right)}\) - tak bym to rozwiązał z użyciem tw. o trzech funkcjach.

[kitiko]

Można z tego że \(\displaystyle{ x^{x}=e^{xlnx}}\) a to przy \(\displaystyle{ x\to 0}\) wynosi \(\displaystyle{ 1}\)?

A czy \(\displaystyle{ e^{0 \cdot (- \infty)}=1}\)?

Hmm a nie? Przecież mnożymy przez 0 to zawsze będzie 0 a liczba do potęgi 0 to 1, dziwne jeśli nie albo pora iść spać.

Dzięki za pomoc.

[musialmi]

Można z tego że \(\displaystyle{ x^{x}=e^{xlnx}}\) a to przy \(\displaystyle{ x\to 0}\) wynosi \(\displaystyle{ 1}\)?

A czy \(\displaystyle{ e^{0 \cdot (- \infty)}=1}\)?

Hmm a nie? Przecież mnożymy przez 0 to zawsze będzie 0

To w takim razie \(\displaystyle{ \lim n \cdot \frac 1n=0}\), bo pierwsze dąży do nieskończoności, a drugie do zera, a \(\displaystyle{ \infty \cdot 0=0}\). Ale chwila, jak to, przecież \(\displaystyle{ \lim n \cdot \frac 1n= \lim 1 = 1}\). Gdzie jest błąd?

Błąd jest taki, że \(\displaystyle{ \infty \cdot 0}\) to może być wszystko i nie możesz na podstawie takiego mnożenia stwierdzić jaki będzie wynik. Poczytaj sobie w notatkach z wykładu o symbolach nieoznaczonych: takich, które trzeba zamienić na coś innego, zanim poda się wynik.