Witam mam problem z tym zadaniem:
\(\displaystyle{ x'=-3x+y+ e^{-3t}}\)
\(\displaystyle{ y'=-x-5y}\)
Należy je rozwiązać metodą macierzową dla warunków początkowych:
\(\displaystyle{ x(0)=1}\)
\(\displaystyle{ y(0)=-1}\)
Proszę o pomoc jak zacząć i jak to zrobić nie metodą eliminacji.
Układ równań niejednorodny - metoda macierzowa, war. pocz.
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6953
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1254 razy
Układ równań niejednorodny - metoda macierzowa, war. pocz.
Warunki początkowe są idealne pod Laplace , ale skoro metodą macierzową to policz exponentę
macierzy
Policz wartości własne i odpowiadające im wektory własne a następnie uzmiennianie stałych
bądź przewidywanie
\(\displaystyle{ X^{\prime}= \begin{bmatrix} -3&1 \\ -1&-5 \end{bmatrix}X+ \begin{bmatrix} e^{-3t} \\ 0 \end{bmatrix} \\
\det{\begin{bmatrix} -3-\lambda&1 \\ -1&-5-\lambda \end{bmatrix}}=0\\
\left( -3-\lambda\right)\left( -5-\lambda\right)-\left( -1\right) \cdot 1=0\\
15+8\lambda+\lambda^2+1=0\\
16+8\lambda+\lambda^2=0\\
\left( \lambda+4\right)^2=0\\
\begin{bmatrix} 1&1 \\ -1&-1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1&1 \\ -1&-1 \end{bmatrix}\\
\begin{bmatrix} 0&0 \\ 0&0 \end{bmatrix}\\
v_{1}= \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \\
v_{2}= \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \\
C_{1}\left( \begin{bmatrix} 1&0 \\0&1 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 1&1 \\ -1&-1 \end{bmatrix} \cdot t \right)\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}e^{-4t}+C_{2}\left( \begin{bmatrix} 1&0 \\0&1 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 1&1 \\ -1&-1 \end{bmatrix} \cdot t \right)\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}e^{-4t} \\
C_{1} \begin{bmatrix} 1+t &t \\ -t&1-t \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}e^{-4t}+C_{2}\begin{bmatrix} 1+t &t \\ -t&1-t \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}e^{-4t}\\
C_{1} \begin{bmatrix} 1+t \\ -t \end{bmatrix}e^{-4t}+C_{2} \begin{bmatrix} t \\ 1-t \end{bmatrix}e^{-4t}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} \left( 1+t\right)e^{-4t}&te^{-4} \\ -te^{-4t}&\left( 1-t\right)e^{-4t} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} C_{1}^{\prime}\left( t\right) \\C_{2}^{\prime}\left( t\right) \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} e^{-3t} \\ 0 \end{bmatrix} \\
\vec{x_{s}}=C_{1}\left( t\right)\vec{x_{1}\left( t\right) } +C_{2}\left( t\right)\vec{x_{2}\left( t\right) }\\}\)
Układ możesz rozwiązać metodą wyznacznikową
(Przy okazji sprawdzisz liniową niezależność rozwiązań układu jednorodnego)
\(\displaystyle{ t=0 \qquad x_{1}\left( t\right)=1\\
t=0 \qquad x_{2}\left( t\right)=-1\\}\)
Metoda operatorowa Laplace zbytnio przypomina eliminację
macierzy
Policz wartości własne i odpowiadające im wektory własne a następnie uzmiennianie stałych
bądź przewidywanie
\(\displaystyle{ X^{\prime}= \begin{bmatrix} -3&1 \\ -1&-5 \end{bmatrix}X+ \begin{bmatrix} e^{-3t} \\ 0 \end{bmatrix} \\
\det{\begin{bmatrix} -3-\lambda&1 \\ -1&-5-\lambda \end{bmatrix}}=0\\
\left( -3-\lambda\right)\left( -5-\lambda\right)-\left( -1\right) \cdot 1=0\\
15+8\lambda+\lambda^2+1=0\\
16+8\lambda+\lambda^2=0\\
\left( \lambda+4\right)^2=0\\
\begin{bmatrix} 1&1 \\ -1&-1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1&1 \\ -1&-1 \end{bmatrix}\\
\begin{bmatrix} 0&0 \\ 0&0 \end{bmatrix}\\
v_{1}= \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \\
v_{2}= \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \\
C_{1}\left( \begin{bmatrix} 1&0 \\0&1 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 1&1 \\ -1&-1 \end{bmatrix} \cdot t \right)\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}e^{-4t}+C_{2}\left( \begin{bmatrix} 1&0 \\0&1 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 1&1 \\ -1&-1 \end{bmatrix} \cdot t \right)\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}e^{-4t} \\
C_{1} \begin{bmatrix} 1+t &t \\ -t&1-t \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}e^{-4t}+C_{2}\begin{bmatrix} 1+t &t \\ -t&1-t \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}e^{-4t}\\
C_{1} \begin{bmatrix} 1+t \\ -t \end{bmatrix}e^{-4t}+C_{2} \begin{bmatrix} t \\ 1-t \end{bmatrix}e^{-4t}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} \left( 1+t\right)e^{-4t}&te^{-4} \\ -te^{-4t}&\left( 1-t\right)e^{-4t} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} C_{1}^{\prime}\left( t\right) \\C_{2}^{\prime}\left( t\right) \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} e^{-3t} \\ 0 \end{bmatrix} \\
\vec{x_{s}}=C_{1}\left( t\right)\vec{x_{1}\left( t\right) } +C_{2}\left( t\right)\vec{x_{2}\left( t\right) }\\}\)
Układ możesz rozwiązać metodą wyznacznikową
(Przy okazji sprawdzisz liniową niezależność rozwiązań układu jednorodnego)
\(\displaystyle{ t=0 \qquad x_{1}\left( t\right)=1\\
t=0 \qquad x_{2}\left( t\right)=-1\\}\)
Metoda operatorowa Laplace zbytnio przypomina eliminację