Całka z cosinusem

daniel1302 · Post autor: **daniel1302** » 22 sty 2015, o 20:16

\(\displaystyle{ \int \frac{1}{3 \cdot \cos^{2} x + 1}}\)

Nie wiem jak to obliczyć próbowałem przekształcić z wzoru na cosinus podwojonego kąta ale nie mogę obliczyć, proszę o nakierowanie.

waliant · Post autor: **waliant** » 22 sty 2015, o 20:23

podstawienie uniwersalne \(\displaystyle{ t=\tg x}\)

daniel1302 · Post autor: **daniel1302** » 23 sty 2015, o 06:33

\(\displaystyle{ t= \tg x, \cos^2 x = \frac{1}{1 + t^{2}}, dx = \frac{\mbox{d}t}{1+t^{2}}}\)

\(\displaystyle{ \int_{}{} \frac{\mbox{d}x}{1 + 3 \cos^{2} x} = \int_{}{} \frac{\frac{\mbox{d}t}{1+t^{2}} }{ \frac{3}{1 + t^{2}} + 1} = \int_{}{} \frac{\frac{\mbox{d}t}{1+t^{2}} }{ \frac{3 + 1 + t^{2} }{1 t^{2}} } = \int_{}{} \frac{1+ t^{2} \mbox{d}t}{(1+t^{2}) \cdot (4+t^{2})} = \int_{}{} \frac{\mbox{d}t}{t^{2} + 2^{2}} = \frac{1}{2} \arctg (\frac{t}{2}) = \frac{1}{2} \arctg (2 \ctg x}}\)

Czy to dobry wynik? W odpowiedziach mam inny

\(\displaystyle{ 2 \arctg 2 \ctg x}\)

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 23 sty 2015, o 08:33

waliant pisze:podstawienie uniwersalne \(\displaystyle{ t=\tg x}\)

Od kiedy to podstawienie jest uniwersalne ?

\(\displaystyle{ \int \frac{1}{3 \cdot \cos^{2} x + 1}=\int{\frac{ \mbox{d}x }{\cos^{2}{x}} \cdot \frac{1}{3+\frac{1}{\cos^{2}{x}}} }\\
=\int{\frac{ \mbox{d}x }{\cos^{2}{x}} \cdot \frac{1}{3+1+\tan^{2}{x}} }\\
t=\tan{x}\\
\int{ \frac{1}{4+t^2} \mbox{d}t}=\frac{1}{2}\int{ \frac{ \frac{1}{2} \mbox{d}t }{1+\left( \frac{t}{2} \right)^2 } }\\
\left( \arctan{\left( -\frac{1}{t}\right) }\right)^{\prime}=\hdots}\)

a4karo · Post autor: **a4karo** » 23 sty 2015, o 08:35

Czy to dobry wynik? W odpowiedziach mam inny

Zróżniczkuj wynik, to się przekonasz

daniel1302 · Post autor: **daniel1302** » 23 sty 2015, o 09:48

Nie miałem jeszcze różniczek.

mortan517 · Post autor: **mortan517** » 23 sty 2015, o 10:21

zróżniczkuj wynik = policz pochodną wyniku