Całka niewłaściwa

[E610]

\(\displaystyle{ \int_{1}^{ \infty } \frac{\ln xdx}{1+\ln ^4x}}\)

[a4karo]

Chodzi o obliczenie, czy o sprawdzenie zbieżności?

[E610]

No wyliczenie wtedy będzie wiadomo też czy jest zbieżna czy nie

[Premislav]

Wyliczenie mogłoby być b. trudne. No ale z określeniem, czy jest zbieżna, czy nie, powinno być łatwiej...
Podstawmy \(\displaystyle{ t=\ln x}\). Co wtedy dostajesz? Jak zmienią się granice całkowania? Co możesz powiedzieć o otrzymanej całce?

[E610]

Ja to wcześniej policzyłem tak, że najpierw nieoznaczoną podstawiłem do niej \(\displaystyle{ t=\ln x}\)potem granice całkowania z odpowiedniego wzoru i na końcu policzyłem granicę i wyszło mi \(\displaystyle{ \infty}\) czyli rozbieżna, ale to chyba źle

[yorgin]

Całka jest rozbieżna i nie trzeba do tego żadnego wzoru ani podstawień. Nie wydaje mi się, by ta całka w ogóle była elementarna...

Dla dostatecznie duzych \(\displaystyle{ x\geq C}\) mamy

\(\displaystyle{ \frac{\ln x}{(1+\ln^4x)}\geq \frac{1}{1+x}}\).

Jest jasne, że

\(\displaystyle{ \int_C^{+\infty} \frac{\dd x}{1+x}=+\infty}\).

[E610]

Tzn. miałem ten przykład na kolokwium i chcę się zorientować jak to miałoby mniej więcej wyglądać, nie miałem takich rzeczy co podałeś wyżej. Chodziło o to żeby zrobić tak jak pisałem, czyli policzyć całkę nieoznaczoną, potem przy pomocy granic wstawić \(\displaystyle{ T}\), a na końcu policzyć granicę z tego. Tylko, że teraz jak próbuje to zrobić to mi nawet podstawienie nie wychodzi A wczoraj zrobiłem jakoś i wyszło mi też, że \(\displaystyle{ \infty}\) ale pewnie wcześniejsze obliczenia źle i tak wyszło przypadkiem

Edit;// źle przykład przepisałem i teraz podstawienie wychodzi

[yorgin]

nie miałem takich rzeczy co podałeś wyżej.

To jest zwykłe porównywanie całek. Analogia kryterium porównawczego zbieżności szeregów. Robi się to i stosuje dokładnie tak samo.

Chodziło o to żeby zrobić tak jak pisałem, czyli policzyć całkę nieoznaczoną, potem przy pomocy granic wstawić \(\displaystyle{ T}\), a na końcu policzyć granicę z tego.

Wolfram nie potrafi policzyć całki nieoznaczonej. Ja po podstawieniu widzę kombinację funkcji wykładniczej i wymiernej, co obniża nadzieje na jej elementarność. Nie widzę jednak potrzeby prowadzenia takich obliczeń, skoro wystarczy zastosować kryterium porównawczne.

[Premislav]

Ale podstawienie, jakie zaproponowałem, nie miało służyć wyliczeniu całki nieoznaczonej.
Mamy wówczas \(\displaystyle{ x=e ^{t},\mbox{d}x=e^{t}\mbox{d}t}\) i otrzymujemy \(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } \frac{te ^{t} }{1+t^{4}}\mbox{d}t}\)
I teraz wystarczy pokazać, że \(\displaystyle{ e ^{t} \ge t ^{2}}\) dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ t}\) rzeczywistych oraz rozbić na dwie całki, z których jedną szacować z dołu przez \(\displaystyle{ \int_{\mbox{coś tam}}^{ \infty } \frac{t ^{3} }{1+t^{4}} \mbox{d}t}\)
Ja na przykład nie widzę, czemu taka nierówność, jaką Pan zaproponował, jest prawdziwa - przynajmniej nie od razu. Oczywiście, jak ktoś jest bystrzejszy ode mnie, to pewnie widzi to natychmiast.

[a4karo]

Zwróćcie uwagę, że autor posta był łaskaw zmienić jego treść i w tej chwili mamy do czynienia z banalna całką żbiezną.
Wstyd autorze. Nie robi się takich rzeczy.