Ciagłość funkcji g(x)=min f(t) gdzie t∈[a,x]

[lelel555]

Mamy daną funkcję \(\displaystyle{ f: [a,b] \to \RR}\), ciągłą na \(\displaystyle{ (a,b)}\)
Jak udowodnić (formalnie), że funkcja:
\(\displaystyle{ g(x) = \min_{t\in[a,x]} f(t)}\)
też jest ciągła.

Generalnie to widać, że to będzie ciągła. Co więcej, będzie słabo malejąca na [a,b].

[szw1710]

Funkcja \(\displaystyle{ g}\) jest nierosnąca zawsze, niezależnie od własności funkcji \(\displaystyle{ f}\). Funkcja monotoniczna ma zawsze granice jednostronne, a ponadto ma ona co najwyżej przeliczalnie wiele punktów nieciągłości. W każdym razie nieciągłości mogą więc tylko być skokami. Spróbuj pokazać, że nie ma skoków. Tu musi pomóc ciągłość funkcji \(\displaystyle{ f}\).

[lelel555]

Funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest określona na przedziale, więc z twierdzenia Heinego-Cantora jest jednostajnie ciągła, więc tych skoków być nie powinno.-- 20 sty 2015, o 20:34 --Ale nadal nie widzę, jak można przeprowadzić ten dowód. To, że nie ma skoków, to już wiemy, ale z tego nic nie wynika.

[szw1710]

Ale nie chodzi o brak skoków \(\displaystyle{ f}\), ale o brak skoków \(\displaystyle{ g}\). Nie wyraziłem tego poprzednio, ale mówiłem o funkcji monotonicznej, którą jest tutaj \(\displaystyle{ g}\).

[lelel555]

No tych skoków nie będzie, bo f przechodzi przez wszystkie wartości między f(a) i f(x) z własności Darboux. Więc jak "przetnie" tą linię poziomą dotychczasowego minimum, to ustali nowe itd.
Ale nie widzę, jak to sformalizować.