Prostsza postać

[Atawizm49]

Doprowadź do prostszej postaci. \(\displaystyle{ \sqrt[3]{61+46\sqrt{5}}}\)

[Zahion]

\(\displaystyle{ (1+ 2\sqrt{5})^{3}=...}\)

[Atawizm49]

Jak to obliczyłeś?

[Zahion]

Dla pewnych \(\displaystyle{ a,b \in Q}\) niech \(\displaystyle{ 61 + 46 \sqrt{5}=(a+b \sqrt{5})^{3}}\)
Otrzymujemy wtedy, że :
\(\displaystyle{ a^{3}+15ab^{2}=61}\)
\(\displaystyle{ 3a^{2}b+5b^{3}=46}\)
"Sprawnym" okiem widać, że jednym z rozwiązań jest \(\displaystyle{ a = 1, b = 2}\), a jak nie widać, to raczej trzeba bawić się z wielomianami trzeciego stopnia. Dwa równania, dwie niewiadome.

[Atawizm49]

Skąd wziąłeś ten układ równań. Proszę o wyjaśnienie.

[SlotaWoj]

Zahion pomylił się? Powinno być: \(\displaystyle{ 1+2 \sqrt{5}}\) (bez trzeciej potęgi).

• Nie zauważyłem \(\displaystyle{ \red{=...}}\) , a to oznacza, że to co Zahion napisał było wskazówką.
  AndrzejK zauważył i chwała mu za to.
  Niniejszym „odszczekuję”: Zahion nie pomylił się.

[AndrzejK]

Nie pomylił się, to była wskazówka.

[SlotaWoj]

Do AndrzejK: No tak. Było \(\displaystyle{ \red{=...}}\) . Co za brak spostrzegawczości z mojej strony.

[Zahion]

\(\displaystyle{ (a+b \sqrt{5})^{3} = a^{3}+ 3a^{2}b \sqrt{5}+15ab^{2}+5 \sqrt{5}b^{3}}\)
Pomyśl dlaczego akurat taki układ.

[Atawizm49]

Nie wiem dlaczego powstał taki a nie inny układ równań.

[AndrzejK]

znasz wzór na \(\displaystyle{ (a+c)^3}\)? jak nie, to znajdź w internecie i podstaw \(\displaystyle{ c=b\sqrt{5}}\).

Ukryta treść:    

Wtedy otrzymasz \(\displaystyle{ a^{3}+ 3a^{2}b \sqrt{5}+15ab^{2}+5 \sqrt{5}b^{3}}\). No i dalej już łatwo, przy \(\displaystyle{ 3a^2b,5b^3}\) stoi pierwiastek z \(\displaystyle{ 5}\), zatem \(\displaystyle{ 46\sqrt{5}=3a^2b\sqrt{5}+5b^3\sqrt{5}}\) (bowiem założyliśmy, że \(\displaystyle{ a,b}\) są wymierne). Zatem \(\displaystyle{ a^3+15ab^2=61}\)

[Atawizm49]

Skąd wziąłeś te \(\displaystyle{ b\sqrt{5}}\) ?

[akermann1]

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{(a+b \sqrt{5}) }}\) podstawił za pierwszą liczbę \(\displaystyle{ a}\) natomiast za drugą \(\displaystyle{ b}\) i aby to uprościć zwyczajnie podniósł to co jest pod pierwiastkiem całość do potęgi \(\displaystyle{ 3}\) aby pozbyć się tego pierwiastka. a na \(\displaystyle{ (a+b)^{3}}\) spokojnie wynajdziesz już wzór na necie.


Pozdrawiam.