Całka wymierna

[Susanel]

Męczyłam się juz z 2h nad tą całką nie wiem jak ja rozwiązać:

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{1}{(x ^{2} +1)^{ 3}}}\)

Probowalam przez ulamki proste ale dochodzilam do tego samego. Z podstawiania pod t zawartosci nawiasu tez mi nie wychodzilo.

[mortan517]

Możesz zastosować rozkład na ułamki.

edit: lepiej chyba przez części

[Premislav]

Można też podstawić \(\displaystyle{ x=\tg t}\), a następnie skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ \cos^{2}t= \frac{1+\cos 2t}{2}}\)

[Susanel]

Mam to zrobić przez ułamki i zrobiłam.
Wszystkie wspolczynniki A, B C D E wyszly 0 a G=1 co doprowadza do wzoru całki.

[mortan517]

No więc do niczego cię to nie doprowadziło. Policz przez części lub uniwersalnym.

[Susanel]

uniwersalnym tzn?

[mortan517]

Można też podstawić \(\displaystyle{ x=\tg t}\), a następnie skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ \cos^{2}t= \frac{1+\cos 2t}{2}}\)

[Susanel]

Nie mielismy takiego podstawienia, ja zazwyczaj podstawiam pod t a nei pod x wiec nie wiem jak to przeksztalcic, przez czesci tylko bardziej sie komplikuje

[mortan517]

Podstawiasz pod \(\displaystyle{ t}\), a nie pod \(\displaystyle{ x}\). Hmm ciekawe, jak skoro masz całke po \(\displaystyle{ x}\)? I właśnie takie też jest podstawienie \(\displaystyle{ x=\tg t}\)

[Premislav]

\(\displaystyle{ x=\tg t \\ \mbox{d}x= \frac{1}{\cos^{2}t} \mbox{d}t}\)
a dalej starczy skorzystać z napisanych przeze mnie tożsamości.
A przez części można łatwo wyprowadzić wzór rekurencyjny na \(\displaystyle{ I_{n}= \int_{}^{} \frac{\mbox{d}x}{(1+x^{2})^{n}}}\), całkując jedynkę.
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{\mbox{d}x}{(1+x^{2})^{n}}= \int_{}^{} \frac{(x)'}{(1+x^{2})^{n}} \mbox{d}x=...}\)

-- 18 sty 2015, o 23:45 --

A można przecież i prościej: \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{\mbox{d}x}{(1+x^{2})^{n}}= \int_{}^{} \frac{1+x^{2}-x^{2}}{(1+x^{2})^{n}} \mbox{d}x=...}\)
(tutaj rozbić na dwie całki i jedną przerzucić na drugą stronę równości, a drugą sieknąć przez części, różniczkując \(\displaystyle{ x}\)).

[Mariusz M]

No więc do niczego cię to nie doprowadziło. Policz przez części lub uniwersalnym.

To nie jest uniwersalne podstawienie
Uniwersalne są postaci \(\displaystyle{ t=\frac{a \cdot \tan{\left( \frac{x}{2} \right)+b }}{c \cdot \tan{\left( \frac{x}{2} \right) }+d}}\)

gdzie \(\displaystyle{ \det{ \begin{bmatrix} a&b \\ c&d \end{bmatrix} }\neq 0}\)

a i to jeśli chodzi o całki postaci \(\displaystyle{ \int{R\left( \sin{x},\cos{x}\right) \mbox{d}x }}\)

Tak więc nazwa niezbyt trafiona Widziałem bardziej pasującą

Można też podstawić \(\displaystyle{ x=\tg t}\), a następnie skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ \cos^{2}t= \frac{1+\cos 2t}{2}}\)

Ach ta moda na całkowanie po amerykańsku

Susanel,

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{\mbox{d}x}{(1+x^{2})^{n}}= \int_{}^{} \frac{1+x^{2}-x^{2}}{(1+x^{2})^{n}} \mbox{d}x=\\
\int_{}^{} \frac{\mbox{d}x}{(1+x^{2})^{n}}=\int{\frac{ \mbox{d}x }{\left( 1+x^2\right)^n }}+\int{x \cdot \frac{\left( -x\right) }{\left( 1+x^2\right)^{n} } \mbox{d}x }\hdots\\}\)


Jeśli zaczniesz całkować w ten sposób to nawet nie będzie potrzeby wzoru rekurencyjnego wyprowadzać