Indukcja matematyczna - ciąg geometryczny

[matiss]

Hej,
potrzebuje pomocy przy sprawdzeniu czy dobrze zrobiłem dowód przez indukcję (trochę się w tym gubię).
W zadaniu otrzymałem (wydedukowałem) wzór na ciąg geometryczny:
\(\displaystyle{ y(n+1)=5y(n)}\)
Gdzie: \(\displaystyle{ y(n)=x(n)+1}\)
Dodatkowo miałem w zadaniu wzór: \(\displaystyle{ x(n+1)=5x(n)+4}\) gdzie x(0)=0

Dowód dla n=0
\(\displaystyle{ y(1)=5y(0)}\)
\(\displaystyle{ L=y(1)=x(1)+1=4+1=5}\)
\(\displaystyle{ P=5y(0)=5(x(0)+1)=5}\)
\(\displaystyle{ L=P}\)

Teza dla k=n
\(\displaystyle{ y(k+1)=5y(k)=5(x(k)+1)}\)

Dowód dla n=k+1
\(\displaystyle{ y(k+2)=5y(k+1)}\)
\(\displaystyle{ L=y(k+2)}\)
\(\displaystyle{ L=x(k+2)+1}\)
\(\displaystyle{ L=5x(k+1)+4+1=5(x(k+1)+1)}\)

\(\displaystyle{ P=5y(k+1)}\)
\(\displaystyle{ P=5*(5y(k))}\)
\(\displaystyle{ P=5*(5(x(k)+1))}\)
\(\displaystyle{ P=5*(5x(k)+4+1))}\)
Z wcześniejszego wzoru 5x(k)+4=x(k+1)
\(\displaystyle{ P=5(x(k+1)+1)}\)
L=P

[Hendra]

Dobrze przeprowadzony dowód indukcyjny
Przeprowadzając dowody indukcyjne ważne jest, by robić je trzystopniowo:
1. Udowadniasz prawdziwość wzoru danego w zadaniu dla jakiegoś n. U Ciebie jest to 0.
2. Zakładasz, że wzór działa dla \(\displaystyle{ k \ge n}\)
3. Udowadniasz prawdziwość wzoru dla jakiegoś \(\displaystyle{ k+1}\). Wychodzi L=P co należało udowodnić.