Równanie różniczkowe II stopnia

[xsenon]

Jak rozwiązać takie równanie? Dział: sprowadzanie do równań I rzędu.

\(\displaystyle{ y'' +(y' )^2+1=0}\)

[kerajs]

\(\displaystyle{ t=y ^{'} \\t ^{'}+t^2+1=0}\)
A to jest równanie typu zmienne rozdzielone.

[xsenon]

Jak mam dalej postępować? Próbowałem rozdzielić zmienne, ale mi nie wychodzi... t' traktowałem jak \(\displaystyle{ \frac{dt}{dx}}\)

[kerajs]

Dobrze traktujesz pochodna po t.
\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}t }{ \mbox{d}x } =-t^2-1\\ \frac{\mbox{d}t }{t^2+1} =- \mbox{d}x \\ \arctg t=-x+C\\ t=\tg (-x+C) \\ \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }=\tg (-x+C) \\ y= \int_{}^{} \tg (-x+C) \mbox{d}x\\y= \int_{}^{} \frac{\tg C - \tg x}{1+\tg C \tg x} \mbox{d}x}\)
NIech \(\displaystyle{ K=\tg C}\)
\(\displaystyle{ y= \int_{}^{} \frac{K-\tg x}{1+K\tg x} \mbox{d}x}\)
Poradzisz sobie z tą całką?

Mozna też było tak
\(\displaystyle{ y ^{'}= t(y) \Rightarrow y ^{''}= t ^{'}t}\)
Równanie ma postać:
\(\displaystyle{ t ^{'}t+t^2+1=0\\ \frac{ \mbox{d}t}{ \mbox{d}y }t= -t^2-1 \\ \frac{-t}{t^2+1} \mbox{d}t= \mbox{d}y}\)
....

[xsenon]

W jaki sposób przekształciłeś \(\displaystyle{ y= \int_{}^{} \tg (-x+C) \mbox{d}x}\), że powstało C

\(\displaystyle{ y= \int_{}^{} \frac{\tg C - \tg x}{1+\tg C \tg x} \mbox{d}x}\)

i czy w tej metodzie nie powinien uzmiennić stałej po otrzymaniu t, obliczyć z niej pochodnej i podstawić do równania?

W drugiej metodzie wyszło mi \(\displaystyle{ -1/2ln\left| t^2+1\right|=x+C}\) i nie wiem jak uwikłać z tego t, a by później to scałkować.

[kerajs]

Tu masz zwykły wzór na tangens różnicy.
\(\displaystyle{ \tan( \alpha - \beta )= \frac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta}}\)
Ale to przejscie jest niepotrzebne.

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \tan(C-x) \mbox{d}x =\left[ t=C-x\right] =- \int_{}^{} \tan t \mbox{d}t=\ln \cos t+K=\ln \cos (C-x)+K}\)
Sorry za przeoczenie.