Granica całki

[studenttt91]

Mam obliczyć taką granicę \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \int_{[0, + \infty} f_n dl_{1}}\)
gdzie \(\displaystyle{ f_{n} (x) = \frac{nx}{nx+1}}\)
Granicą punktową jest \(\displaystyle{ f(x)=1}\)
Pokazałem, że ciąg ten jest monotoniczny (wychodząc od \(\displaystyle{ \frac{nx}{nx+1} \le \frac{(n+1)x}{(n+1)x+1}}\) doszedłem do warunku \(\displaystyle{ x \ge 0}\)), więc z twierdzenia Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej mamy \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \int_{[0, + \infty} f_n dl_{1} = \int_{[0, + \infty}1 dl_{1} = + \infty}\) Dobrze?

[M Ciesielski]

Można z ograniczoności, ale jeżeli szacowanie jest dobre (nie sprawdzałem), to jest prawie okej - po przedostatnim znaku równości nie ma już granicy.

[a4karo]

A może prościej. Ile wynosi \(\displaystyle{ \int_{\mathbb{R}_+} f_n dl}\) ?
Natomiast tw. Lebesgue'a tu nie zadziała, bo całka z granicy nie jest skończona oraz całki z funkcji \(\displaystyle{ f_n}\) nie sa ograniczone.