Szacowanie przyrostu przez rozwinięcie w szereg

[Ades]

Cześć

sprawa wygląda tak
mam funkcję \(\displaystyle{ A = f(x)}\)
następnie wartość \(\displaystyle{ A}\) zostaje zwiększona o \(\displaystyle{ dA}\) co odpowiada argumentowi \(\displaystyle{ x+dx}\)
\(\displaystyle{ A+dA = f(x+dx)}\)
Zakładam że \(\displaystyle{ A}\), \(\displaystyle{ dA}\) i \(\displaystyle{ x}\) są znane
aby oszacować \(\displaystyle{ dx}\) mogę przedstawić prawą stronę jako
\(\displaystyle{ f(x+dx) \approx f(x) + \frac{\partial f}{\partial x}dx}\)

Przykładowo:
\(\displaystyle{ 5 = \sqrt{x}}\)
\(\displaystyle{ 6 \approx \sqrt{x+dx}}\)
\(\displaystyle{ 6 \approx \sqrt{x} +\frac{\partial \sqrt{x}}{\partial x}dx}\)
\(\displaystyle{ 6 \approx \sqrt{x} +\frac{1}{2\sqrt{x}}dx}\)
\(\displaystyle{ dx \approx (6-\sqrt{x})*2\sqrt{x}}\)
\(\displaystyle{ dx \approx 10}\)

i teraz mam nietypowe pytanie - co ja zrobiłem? Domyślam się że rozwinąłem funkcję w szereg, ale nie mam pojęcia z jakiego twierdzenia skorzystałem...i tutaj proszę o pomoc
Pytanie dodatkowe - oczywiście mogę to rozumowanie rozwinąć na więcej wymiarów np. \(\displaystyle{ A=f(x,y,z)}\)?

[SlotaWoj]

Zastosowałeś definicję pochodnej funkcji:

• \(\displaystyle{ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+ \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = f'(x)}\)

Gdy zrezygnujemy z granicy, to dla odpowiednio małych \(\displaystyle{ \Delta x}\) będzie:

• \(\displaystyle{ \frac{f(x+ \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \approx f'(x)}\)

Przybliżenie \(\displaystyle{ f(x+dx) \approx f(x) + \frac{\partial f}{\partial x}dx}\) jest równoważne dwóm początkowym składnikom rozwinięcia funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) w szereg Taylora. Ale rozwijając funkcję w szereg zazwyczaj uwzględnia się więcej niż dwa początkowe jego składniki (zazwyczaj powyżej pięciu) — im ich jest więcej, tym przybliżenie dokładniejsze.

Chciałeś wykonać zadanie odwrotne do ww., tzn. szacować przyrost argumentu \(\displaystyle{ \Delta x}\) odpowiadający zadanemu przyrostowi wartości funkcji \(\displaystyle{ \Delta A}\). Do tego również można wykorzystać rozwinięcie funkcji w szereg Taylora i tu także dokładność szacunku zależy od liczby uwzględnionych składników szeregu.
I tak dla funkcji \(\displaystyle{ A = f(x) = \sqrt{x}}\) dla \(\displaystyle{ A = \sqrt{25} = 5}\) dokładny przyrost argumentu powodujący przyrost wartości funkcji o \(\displaystyle{ \Delta A = 1}\) jest równy \(\displaystyle{ 11}\), a szacowane, w zależności od liczby uwzględnionych początkowych składników szeregu Taylora i odpowiadające im przyrosty wartości funkcji są następujące:

• \(\displaystyle{ \begin{tabular}{c|c|c}
  \hline
  Liczba składników & Szacowany przyrost & Szacowany przyrost \\
  szeregu Taylora & argumentu & wartości funkcji \\
  & \Delta x & \Delta A \\
  \hline
  2 & 10 & 0,9161 \\
  3 & 11,270 & 1,0225 \\
  4 & 10,943 & 0,9942 \\
  5 & 11,021 & 1,0017 \\
  6 & 10,993 & 0,9994 \\
  7 & 11,011 & 1,0009 \\
  \end{tabular}}\)

[Ades]

Ok, problem rozwiązany. Wielkie dzięki za tą rozbudowaną odpowiedź