normy równoważne

[doly]

Wykazać że poniższe normy w przestrzeni \(\displaystyle{ C ^{\left(1 \right) } \left( \left[ 0,1\right] \right)}\) są parami równoważne
\(\displaystyle{ \left| \right| f\left| \right| _{1}= max \left\{ max\left| f\left( t\right) \right|, max\left| f'\left( t\right) \right| \right\}}\)
\(\displaystyle{ \left| \right|f\left| \right| _{2} = \left| f\left( 0\right) \right| +max \left| f'\left( t\right) \right|}\)
\(\displaystyle{ \left| \right| f\left| \right| _{3} = \int_{0}^{1} \left| f\left( t\right) \right|dt + max \left| f'\left( t\right) \right|}\)

[lemoid]

Normy są równoważne \(\displaystyle{ \Leftrightarrow \exists C_1, C_2 \ \ C_1||f||_1\leq ||f||_2\leq C_2||f||_1.}\)

Powinno pójść łatwo.

[doly]

no właśnie taki znalazłam warunek
A jak wyznaczyć to \(\displaystyle{ C _{1}, C _{2}}\) ?
Mogę rozbić to na dwie nierówności
\(\displaystyle{ C _{1} \left| \right|f\left| \right| _{1} \le \left| \right| f\left| \right| _{2}}\) oraz \(\displaystyle{ \left| \right| f\left| \right| _{2} \le C _{2}\left| \right| f \left| \right| _{1}}\)
I podstawie za \(\displaystyle{ \left| \right| f\left| \right| _{1}}\) powyższy wzór i dzieląc obustronnie przez \(\displaystyle{ \left| \right| f\left| \right| _{1}}\)
otrzymam \(\displaystyle{ C _{1}}\)-- 11 sty 2015, o 17:11 --jak mam to policzyć jakieś wskazówki ?