Granica funkcji bez reguły de l'Hospitala

[MuKuL]

Hej zacząłem rozwiązywać taki przykład i stanąłem w miejscu:

Metoda 1:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0 } \frac{\tg x - \sin x}{\sin ^{3} x} = \lim_{ x\to 0 } \frac{ \frac{\tg x}{x}x - \frac{\sin x}{x}x }{ \left( \frac{\sin x}{x}x \right)^{3}} = \lim_{ x\to 0 } \frac{x\left( \frac{\tg x}{x} - \frac{\sin x}{x} \right) }{x^{3}\left( \frac{\sin x}{x} \right)^{3} } = \lim_{ x\to 0 } \frac{ \frac{\tg x}{x} - \frac{\sin x}{x} }{x^{2}\left( \frac{\sin x}{x} \right)^{3} } = \left[ \frac{1 - 1}{0^{2} \cdot 1^{3}} \right] = \left[ \frac{0}{0} \right] = ...?}\)

Metoda 2:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0 } \frac{\tg x - \sin x}{\sin ^{3} x} = \lim_{ x \to 0} \frac{ \frac{\sin x}{\cos x} - \sin x}{\sin ^{3}x} = \lim_{ x\to 0 } \frac{\sin x}{\cos x\sin ^{3}x} - \frac{\sin x}{\sin ^{3}x} =}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0 } \frac{1}{\cos x\sin ^{2}x} - \frac{\cos x}{\cos x\sin ^{2}x} = \lim_{ x\to 0 } \frac{1 - \cos x}{\cos x\sin ^{2}x} = \lim_{ x\to 0 } \frac{\cos x \left( \frac{1}{\cos x} -1 \right)}{\cos x\sin ^{2}x} = \lim_{ x\to 0 } \frac{\frac{1}{\cos x} -1 }{\sin ^{2}x} = \left[ \frac{1 -1}{0} \right] = \left[ \frac{0}{0} \right] = ...?}\)

Wiem, że wynik powinien wyjść \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) i widziałem już gdzieś w internecie rozwiązane to za pomocą reguły de l'Hospitala, ale czytałem też, że można i bez tego sobie poradzić - i właśnie na tym by mi zależało. Z góry dzięki za pomoc!

[leszczu450]

\(\displaystyle{ \sin^2 x = \frac{1- \cos 2x}{2}}\)

Może to gdzieś pomoże w drugiej metodzie. Nie obiecuje.

[bartek118]

\(\displaystyle{ \frac{\tg x - \sin x}{\sin ^{3} x} = \frac{\frac{\sin x}{\cos x} - \sin x}{\sin^3 x} = \frac{\sin x - \sin x \cos x}{\cos x \sin^3 x} = \frac{\sin x (1-\cos x)}{\cos x \sin^3 x} = \frac{1-\cos x}{\cos x \sin^2 (x)} = \frac{1-\cos x}{\cos (x) (1-\cos^2 x)} = \frac{1-\cos x}{\cos (x) (1-\cos x)(1+\cos x)} = \frac{1}{\cos x (1+\cos x)} \to \frac{1}{2}}\)

[leszczu450]

bartek118, wolfram pokazuje wynik \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\).

[bartek118]

bartek118, wolfram pokazuje wynik \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\).

Wiem, już poprawiłem, głupi błąd miałem.