Całka Lebesgue'a
-
yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12680
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Całka Lebesgue'a
Z definicji powiadasz. Wystarczy więc definicję wykorzystać.
Niech \(\displaystyle{ \mathcal{U}_n= \left\{ I_{n,k}:=\left[\frac{k}{n},\frac{k+1}{n}\right):k=0, \ldots, 5n-1 \right\}}\)
i niech \(\displaystyle{ u_n(x):=\sum\limits_{k=0}^{5n-1} \mathbf{1}_{I_{n,k}}(x)\frac{k}{n}+5\cdot\mathbf{1}_{\{5\}}(x)}\).
\(\displaystyle{ u_n}\) jest funkcją prostą na podziale \(\displaystyle{ \mathcal{U}_n}\) oraz \(\displaystyle{ u_n\leq f}\).
Wtedy
\(\displaystyle{ \int_{D}f\dd\lambda=\sup\limits_{n\to+\infty}\int_{D}u_n\dd\lambda}\).
Niech \(\displaystyle{ \mathcal{U}_n= \left\{ I_{n,k}:=\left[\frac{k}{n},\frac{k+1}{n}\right):k=0, \ldots, 5n-1 \right\}}\)
i niech \(\displaystyle{ u_n(x):=\sum\limits_{k=0}^{5n-1} \mathbf{1}_{I_{n,k}}(x)\frac{k}{n}+5\cdot\mathbf{1}_{\{5\}}(x)}\).
\(\displaystyle{ u_n}\) jest funkcją prostą na podziale \(\displaystyle{ \mathcal{U}_n}\) oraz \(\displaystyle{ u_n\leq f}\).
Wtedy
\(\displaystyle{ \int_{D}f\dd\lambda=\sup\limits_{n\to+\infty}\int_{D}u_n\dd\lambda}\).