Linia ugięcia belki.

[spajder8306]

Proszę o pomoc w wyznaczeniu stałych całkowania. Z calkowania równania lini ugięcia wyszły mi następujące wyniki.

EI \(\displaystyle{ W_{1} = -\frac{P} {12} x^{3} + C_{1} + D_{1}}\)

EI \(\displaystyle{ W_{2} = - \frac{P}{12} \left( l-x \right) ^{3} + C_{2}x + D_{2}}\)

EI \(\displaystyle{ W'_{1} = -\frac{P}{4} x^{2} + C_{1}}\)

EI\(\displaystyle{ W'_{2} = \frac{P}{4} \left( l-x \right) ^{2} + C_{2}}\)

Warunki brzegowe wyznaczyłem.

\(\displaystyle{ W_{1} \left( 0 \right) =0\\
W_{2} \left( l \right) =0\\
W'_{1} \left( \frac{l}{2} \right) = W'_{2} \left( \frac{l}{2} \right) \\
W_{1} \left( \frac{l}{2} \right) = W_{2} \left( \frac{l}{2} \right)}\)

Następnie podstawiałem i wynik końcowy nie chce mi wyjść taki sam jak w metodzie Castigliano (a wiem że jest dobrze zrobiona bo wynik zgadza sie z tablicami.)
Belka wygląda następująco:

Proszę o pomoc w wyznaczeniu stałych, bo stanąłem w miejscu

[kruszewski]

Byłoby wskazane przytoczenie całego rozwiązania a nie tylko wyników
końcowych bo wtedy można znaleźć miejsce gdzie jest błąd.-- 5 sty 2015, o 23:03 --Po formie zapisu i oznaczeń mam wrażenie, że Kolega czytał Wytrz.mater. oraz podst.teorii spr. i plast. prof. J.Walczaka. Dobrze czuję?
W.Kr.

[siwymech]

AU

79925924174084393658.jpg (5.52 KiB) Przejrzano 106 razy

Równanie różniczkowe linii ugięcia belki
(1)\(\displaystyle{ E \cdot J \cdot w"=-M(x)}\)
\(\displaystyle{ w=w(x)}\) \(\displaystyle{ }\) równanie linia ugięcia
................................................................................
1.Uwalniam belkę od więzów, wprowadzam siły reakcji i obliczam je w oparciu o analityczne warunki równowagi./ Zwracam uwagę na symetrię obciążenia/
(1)\(\displaystyle{ R _{A}-P +R_{B}=0}\)
(2)\(\displaystyle{ -P \cdot 0,5l+R _{B} \cdot l=0}\)
(3) Spr. popr. obl. \(\displaystyle{ }\) \(\displaystyle{ \Sigma M _{B}=0}\)
-------------------------------------------------
(4)\(\displaystyle{ R_{A}=R_{B}=0,5P}\)
-------------------------------------------------
2. Równanie momentu zginającego belki liczone, tylko dla przedziału lewego.
/Po prawej stronie ta sama wartość- z symetrii obciążenia./
(4)\(\displaystyle{ M ^{L}=R _{A} \cdot x=0,5P \cdot x}\)
3. Równanie(1) dla tego przedziału.
(5) \(\displaystyle{ E \cdot J \cdot w"=-0,5P \cdot x}\)
4.Rozwiązujemy równanie (1) całkując je dwukrotnie;
(6) \(\displaystyle{ E \cdot J \cdot w'=-0,5P \cdot \frac{x ^{2} }{2}+C}\),
(6') \(\displaystyle{ E \cdot J \cdot w=-0,5P \cdot \frac{x ^{3} }{6}+C \cdot x+D}\)
4.1. Wyznaczenie stałych całk.C i D z warunków brzegowych( odkształcenia na podporach i warunku ciągłości linii ugięcia na granicy sąsiednich przedziałów);
(7) Warunek odkształcenia(ugięcia) na podporze A
\(\displaystyle{ x=0,}\) \(\displaystyle{ w=0}\) \(\displaystyle{ }\) w podporze nie ma ugięcia belki,
(8) Na granicy przedziałów maksimum ugięcia- w środku belki
\(\displaystyle{ x=0,5l ,}\) \(\displaystyle{ w'=0}\)
4.2. Po podstawieniu warunków brzeg. otrzymamy;
(9) \(\displaystyle{ C= \frac{P \cdot l}{16}}\)
(10) \(\displaystyle{ D=0}\)
4.3 Równania (6) i (6') po obl stałych całk. przyjmują postać;
(11) \(\displaystyle{ E \cdot J \cdot w'= -\frac{P}{4} \cdot x ^{2}+\frac{P \cdot l ^{2} }{16} \Rightarrow w'}\) \(\displaystyle{ }\)
kąt obrotu przekroju na podporze A , \(\displaystyle{ \alpha _{A}}\) \(\displaystyle{ }\) policzony z (11) dla x=0

\(\displaystyle{ \alpha _{A}=........}\)
(11')\(\displaystyle{ E \cdot J \cdot w= -\frac{P}{12} \cdot x ^{3}+\frac{P \cdot l ^{2} }{16} \cdot x \Rightarrow w}\)
\(\displaystyle{ w=..........}\)
\(\displaystyle{ }\) strzałka ugięcia f policzona z (11') dla x=l/2.

\(\displaystyle{ f= \frac{P \cdot l ^{3} }{48 EJ}}\)
....................................................
Dla tego sposobu obciążenia f zgodne z wynikiem tablicowym.
Gdyby siła P nie była skupiona w środku długości belki, trzeba ustawiać dwa równia różniczkowe dla dwóch przedziałów!.
................
Powodzenia

[spajder8306]

Wielkie dzięki za pomoc, ale mam jeszcze jedno pytanie. Dlaczego \(\displaystyle{ \omega}\) ' (\(\displaystyle{ \frac{l}{2}}\))=0, tj. warunek 8. To oznaczało by że w miejscu gdzie mam maksymalne ugięcie belki to kat ugięcia jest równy 0 ?

[kruszewski]

Jeżeli odpowiedź jest pilnie potrzebna to odpowiadam:
Tak i P."siwymech" pokazał to na rysunku kreśląc styczną do osi ugiętej belki.
Uzasadnienie najpewniej P."siwymech" poda jak zaglądnie na forum bo on prowadzi podpowiadanie w tym temacie, nie ja.

[siwymech]

W warunku ujęto zapis nie \(\displaystyle{ w}\), \(\displaystyle{ }\) a \(\displaystyle{ w'}\)- pochodna, którą graficznie można zobrazować jako styczną do krzywej w danym punkcie:
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=tg \alpha}\).
Dla x= 0,5l, styczna t do linii ugięcia w p.C jest pozioma, stąd \(\displaystyle{ }\) \(\displaystyle{ tg \alpha}\) \(\displaystyle{ }\)nachylenia stycznej(pochodna) jest równy zeru.
..................................
Podpowiadam, ale wolałbym na Twoim miejscu korzystać z przepastnej skarbnicy wiedzy p.Kruszewskiego, którego Noworocznie pozdrawiam, życząc stu lat życia.