Zbadać zbieżność szeregu

[Premislav]

Przypomniał mi się ten temat: 369195.htm

lemat: jest \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{\ln n}{ \sqrt{n} }=0}\).
dowód lematu: Oczywiście \(\displaystyle{ \sqrt{n} \rightarrow \infty}\); z twierdzenia Stolza ta granica z lematu jest równa \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{\ln \frac{n+1}{n} }{ \sqrt{n+1}- \sqrt{n} }}\) (o ile ta ostatnia istnieje), teraz licznik szacujemy z góry na mocy nierówności \(\displaystyle{ \ln (x+1) \le x}\), mnożymy przez sprzężenie mianownika i dostajemy dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n}\) szacowanie \(\displaystyle{ 0 \le \frac{\ln \frac{n+1}{n} }{ \sqrt{n+1}- \sqrt{n} } \le \frac{ \sqrt{n+1} + \sqrt{n} }{n}}\) , co na mocy twierdzenia o trzech ciągach kończy dowód lematu.
Korzystając z lematu, łatwo dostajemy \(\displaystyle{ \log_{2} n^{2}=2 \frac{\ln n}{\ln 2} \le \sqrt{n}}\) dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n}\) (jak u Marcinka665, tylko bierzemy \(\displaystyle{ \epsilon= \frac{\ln 2}{2}}\)) [użyłem jeszcze wzoru na zamianę podstawy logarytmu]. Stąd i z faktu, że \(\displaystyle{ f(x)=2^{x}}\) jest rosnąca otrzymujemy \(\displaystyle{ 2 ^{ \sqrt{n} } \ge n^{2}}\) dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n}\).

[Funktor]

Wskazywanie konkretnego miejsca, dla którego zachodzi nierówność o którą toczy się powyższa burda, jest kompletnie niepotrzebne. A z rozważań na temat granicy jakie na poprzedniej stronie napisał Marcin wynika iż interesująca nas nierówność zachodzi dla dostatecznie dużych n. Co pozwala stosować kryterium porównawcze. Miodziu, z niecierpliwością czekam na w pełni " formalnie poprawny" dowód w twoim wykonaniu. Podobne argumentacje stosowałem podczas rozwiązywania swoich prac domowych na wydziale matematyki i były one akceptowane i jeśli jakieś punkty leciały to znokome.-- 5 sty 2015, o 04:04 --To zadanie można rozwiązać też inaczej, korzystając z dosyć egzotycznego i wziętego z kosmosu kryterium. Zainteresowanych odsyłam do " Zadania z analizy matematycznej" W. Kaczor M. Nowak tom 1 . zadanie 3.2.16 oraz 3.2.17 wydanie z 2005 roku

[miodzio1988]

Od roku nie pisałeś na forum i nagle trafiłeś na ten temat, ciekawe

Wskazywanie konkretnego miejsca, dla którego zachodzi nierówność o którą toczy się powyższa burda, jest kompletnie niepotrzebne.

No i znowu bzdura, która tylko może mniej doświadczonych studentów wprowadzić w błąd.
Między sobą możemy sobie tak pisać, ale później ludzie czytają Twoje wypowiedzi i będą sobie szacowali jak chcą, bez dowodzenia danych nierówności albo bez sprawdzania ich poprawności, co może skutkować stratą punktów. Tracisz punkty coś jest do bani, zrozum to wreszcie

No na wydziale matematyki to powinieneś dostać zero z wykrzyknikiem jeszcze. U mnie na wydziale bardzo dbano o takie rzeczy, dziwne, że u Ciebie nie.

Premislav no też przypomniał mi się ten temat. Już nie będę komentował co tam się działo i co wykładowca potrafił tam napisać, może i tutaj się wypowie.

Z tamtego tematu:

Ciągi akurat są ciągłe, ale to drobny szczegół.

Nikt nawet na to nie zwrócił uwagi, ale o mnie jeszcze napisali

[blade]

A mogę skorzystać tutaj z kryterium Raabego, do tego szeregu ? :
Kryterium Raabego :
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{1}{2^{\sqrt{n}}} \cdot 2^{\sqrt{n+1}} - 1 = \lim_{n\to\infty} 2^{(n+1)^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}}} -1= \lim_{n\to\infty} 2^{n^{\frac{1}{2}}(1+\frac{1}{n})^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}}} - 1=\lim_{n\to\infty} 2^{n^{\frac{1}{2}}\left[ \left( 1+\frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{2}}-1 \right]} -1}\)
Teraz mamy : nawias \(\displaystyle{ ()}\) w wykładniku - dąży do \(\displaystyle{ \sqrt{1} = 1}\), więc nawias kwadratowy dąży do \(\displaystyle{ 0}\) - cały wykładnik również, zatem potęga dąży do \(\displaystyle{ 2^0 = 1}\), zatem cała granica
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{1}{2^{\sqrt{n}}} \cdot 2^{\sqrt{n+1}} - 1 = 0}\)
Tylko teraz na mocy kryterium Raabego, ten szereg jest rozbieżny, co jest nieprawdą. Gdzie popełniam błąd?
@Edit, dobra widze błąd, zgubiłęm \(\displaystyle{ n}\) przed całym wyrażeniem.

[miodzio1988]

W kryterium Raabego masz jeszcze \(\displaystyle{ n}\) przed wszystkim

[Premislav]

Jeśli już szukamy innego rozwiązania, to proponuję kryterium kondensacyjne (ktoś wie, czemu ono się tak nazywa, a nie wręcz przeciwnie, np. "rozrzedzające"?), jak się weźmie czwórkę zamiast "standardowej" dwójki, to powinno względnie bezboleśnie pójść, choć możliwe, że znowu się mylę w obliczeniach.
A dla zainteresowanych niemających dostępu do biblioteki egzotyczne i wyjęte z kosmosu kryterium z książki Zadania z analizy matematycznej, cz. I pań Kaczor i Nowak (mam wydanie z 2012 roku, w takowym wydaniu mamy to jako tezę zadania 3.2.16, a męczony przykład to 3.2.17(a)):
jeżeli \(\displaystyle{ \sum_{}^{} a _{n}}\) jest szeregiem liczbowym o wyrazach dodatnich oraz istnieje
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } n\ln \frac{a _{n} }{a _{n+1} }=g}\), to
(1) jeśli \(\displaystyle{ g>1}\), to szereg jest zbieżny,
(2) jeśli \(\displaystyle{ g<1}\), to szereg jest rozbieżny,
(3) jeśli \(\displaystyle{ g=1}\), to kryterium nie rozstrzyga.
Może zamiast przepisywać rozwiązanie z odpowiedzi (mające tę zaletę, że prawie na pewno jest poprawne), wrzucę jakiś szkic dowodu, ale to później, bo na razie zajmę się przygotowaniem obiadu.

Natomiast dziwi mnie to stwierdzenie:

Cytuj:
Wskazywanie konkretnego miejsca, dla którego zachodzi nierówność o którą toczy się powyższa burda, jest kompletnie niepotrzebne.


No i znowu bzdura, która tylko może mniej doświadczonych studentów wprowadzić w błąd.

A to czemu? Jeżeli ktoś sobie powie "no mamy taką nierówność, bo to widać i jest fajnie, a teraz idę na piwo", to trudno się spodziewać dodatniej liczby punktów, natomiast nie rozumiem, czemu uzasadnienie takie, jak sformułowane przez Marcinka665 miałoby zasługiwać na jakąkolwiek stratę punktów (chyba że w poleceniu stoi "nie używając tw. de l'Hospitala, zbadaj..." lub prowadzący wyraźnie zaznaczył, że wszystkie twierdzenia przytaczane bez dowodu w rozwiązaniach muszą pojawić się wcześniej na wykładzie/ćwiczeniach, a jeśli się nie pojawiły, to trzeba przed zastosowaniem je udowodnić - zazwyczaj badanie zbieżności szeregów pojawia się wcześniej niż de l'Hospital). A nie podaje ono miejsca, od którego nierówność jest prawdziwa, tylko pokazuje, że takie musi istnieć.

[miodzio1988]

Co do Hospitala to podałem przykład z warunkiem koniecznym. Jeśli takie rozwiązanie jest dla Ciebie akceptowalne to ja nie mam pytań ( no oczywiście zawsze możesz napisać tak jak Marcinek, że wystarczy dopisać dwie linijki i tyle, jak ja znam takie tłumaczenia ze studiów )

A ja tylko się upominam o te dwie linijki i znowu napiszę:

Między sobą możemy sobie tak pisać, ale później ludzie czytają Twoje wypowiedzi i będą sobie szacowali jak chcą, bez dowodzenia danych nierówności albo bez sprawdzania ich poprawności, co może skutkować stratą punktów. Tracisz punkty coś jest do bani, zrozum to wreszcie

Po to więc zwracam uwagę na takie rzeczy, żeby ktoś przypadkiem przez nas nie uwalił kolosa. Chyba po to piszemy publicznie, zeby ludzie się z tego uczyli, nie? To czego my ich uczymy? Że można sobie ot tak pisać nierówności i tak to sobie zostawiać?

No i znowu czytamy całą rozmowę, gdzie do rozwiązania Marcinka się nie przyczepiłem, ale po co ja to piszę n-ty raz jak i tak ludzie wiedzą swoje

[Marcinek665]

Znowu marne insynuacje i w kółko brak czytania ze zrozumieniem.

Proszę, wskaż mi konkretny moment, w którym napisałem: "wystarczy policzyć odpowiednią granicę i napisać, że jeśli jest zerem, to szereg jest zbieżny". Wokół tego stwierdzenia krążą wszystkie Twoje argumenty, a stwierdzenie takie nigdzie nie padło.

Cały czas próbujesz mnie obrzucić przykładami na to, że rozwiązanie takie jest niepoprawne i nie dziwię się, bo rozwiązania nie chcesz zrozumieć, więc odbiegasz w coraz to bardziej abstrakcyjne absurdy. Doszło nawet do tego, że niby wg. mnie warunek konieczny zbieżności jest warunkiem wystarczającym. No ładnie.

Cieszy mnie natomiast to, że każdy, poza Tobą, rozumie, o co mi chodzi i rozumie, że Twoja duma nie pozwala Ci powiedzieć "ok, pomyliłem się, nie doczytałem dokładnie".

Nikt tutaj nie krzyczy "to rozwiązanie jest poprawne, BO MOŻNA je naprawić". Jeśli takie miałeś przygody na studiach, to tylko pozazdrościć. Jest tutaj tylko "to rozwiązanie MOŻNA naprawić" i pokazuję w jaki sposób. Powiedziałeś, że coś z czegoś nie wynika. Ja powiedziałem, że nie masz racji. Zacząłeś później odwracać kota ogonem. Każdy doskonale to widzi, co widać po wypowiedziach.

[miodzio1988]

Proszę, wskaż mi konkretny moment, w którym napisałem: "wystarczy policzyć odpowiednią granicę i napisać, że jeśli jest zerem, to szereg jest zbieżny". Wokół tego stwierdzenia krążą wszystkie Twoje argumenty, a stwierdzenie takie nigdzie nie padło.

Na końcu się do tego odniosłem, przeczytaj.

Cały czas próbujesz mnie obrzucić przykładami na to, że rozwiązanie takie jest niepoprawne i nie dziwię się, bo rozwiązania nie chcesz zrozumieć, więc odbiegasz w coraz to bardziej abstrakcyjne absurdy.

Przeczytaj, obyś teraz zrozumiał.
Podsumowanie:

Przyznaję - zrobiłem to na siłę, bo nie lubię, gdy ktoś wrzuca do kosza dowód, który jest poprawny, o ile dodać do niego dwa zdania.

Przypomnijmy sobie o jaki dowód chodziło

A skąd wiadomo, że \(\displaystyle{ n^2 \le 2^{\sqrt{n}}}\) ?

Który był częścią dowodu na zbieżność szeregu. Sam napisałeś, patrzymy szerzej na temat.

Stąd napisałem

Przedstaw taki dowód dla zbieżności naszego szeregu na kolosie a dostaniesz zero punktów z miejsca.

Uzasadniłem to tym:

Spoko, pomińmy 400 wyrazów i napiszmy, że jest to prawda. Oczywiście dla zbieżności szeregu nie robi to różnicy, ale też nikt(przed Tobą) o tym nie wspomniał. Nie możemy też różniczkować ciągów (reguła H), ale oczywiście też nikt (Ty też nie) o tym nie wspomniał.

Oczywiście podkreślając w każdej wypowiedzi, że:

No, a ja widzę, że badamy zbieżność szeregu, dowodzimy nierówności dla liczb naturalnych, jesteśmy w dziale Własności i granice ciągów, a później( bez komentarza) sobie różniczkujemy.

Dalej masz coś do powiedzenia? Wszystko tutaj jest jasne? Już rozumiesz?

Doszło nawet do tego, że niby wg. mnie warunek konieczny zbieżności jest warunkiem wystarczającym. No ładnie.

No i znowu nie czytasz ze zrozumieniem!! A sam mi to zarzucasz:

Zbadaj warunek konieczny zbieżności szeregu:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n}{e ^{n} }}\)

Rozwiązanie uznawane przez Marcinka za poprawne:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } \frac{x }{e ^{x} }=H= \lim_{x \to \infty } \frac{1 }{e ^{x} }=0}\)

Podkreśliłem, już widzisz?

Jest tutaj tylko "to rozwiązanie MOŻNA naprawić" i pokazuję w jaki sposób. Powiedziałeś, że coś z czegoś nie wynika. Ja powiedziałem, że nie masz racji. Zacząłeś później odwracać kota ogonem. Każdy doskonale to widzi, co widać po wypowiedziach.

No to jak coś trzeba naprawiać to niekoniecznie to dobrze działa. Tego nie rozumiesz, co? To w sumie jest istota problemu i nigdzie nie napisałem, ze rozwiązania nie można naprawić. Może jakiś cytat? Napisałem w sumie, że jest do bani rozwiązanie wiedzmaca. Uzasadniłem to, Ty rozwiązanie naprawiłeś, o czym dyskutujemy drugi dzień?

[Qń]

Zamykam temat, bo główny wątek tej dyskusji dawno przestał być merytoryczny, a zamienił się we flamewar. Prowodyrowi przyznano ostrzeżenie, a wszystkim proponuję nie wdawać się na przyszłość w bezsensowne przepychanki.

Moderator.