równanie z wartością bezwzględną i z parametrem

[merykin]

Witam. Prosiłbym o sprawdzenie poprawności odpowiedzi.
Dla jakiego \(\displaystyle{ p}\) równanie ma dwa pierwiastki?

\(\displaystyle{ \left|\left| x^{2} - 4\right| -1\right|=p}\)

Odpowiedź z książki \(\displaystyle{ p \in \left\{ -1\right\} \cup \left( 3, \infty \right)}\) , ale przecież moduł nie może być równy \(\displaystyle{ -1}\). Czy jest błąd w odpowiedziach czy ja czegoś nie widzę?

[szw1710]

Zapewne błąd. Najlepiej pokaż nam Twoje rozwiązanie zadania.

[Jan Kraszewski]

Jest błąd. Odpowiedź dotyczy zadania \(\displaystyle{ \left| x^{2} - 4\right| -1=p.}\)

JK

[merykin]

Panie Janie czy pan zna to zadanie czy to tylko pana domniemanie? Faktycznie bez tego modułu odpowiedź pasuje, ale wolałbym mieć pewność.

[szw1710]

Tak czy inaczej rozwiąż zadania również dla modułu - to pouczające.

[Jan Kraszewski]

Panie Janie czy pan zna to zadanie czy to tylko pana domniemanie? Faktycznie bez tego modułu odpowiedź pasuje, ale wolałbym mieć pewność.

Ani to, ani to. Po prostu stwierdziłem fakt. Albo jest błąd w treści zadania, albo w odpowiedzi - tego nie da się rozstrzygnąć.

JK

[szw1710]

merykin, to po prostu wynika z doświadczenia. Ja też jedząc kolację jeszcze raz to sobie wyobraziłem i doszedłem do tego samego, co szanowny przedmówca. Nietrudno nawet w pamięci sporządzić sobie wykres lewej strony równania. Potem na jego podstawie rozwiązuje się to zadanie.

[Dilectus]

Hmm... Popatrzmy

Dla jakiego p równanie ma dwa pierwiastki?

\(\displaystyle{ \left|\left| x^{2} - 4\right| -1\right|=p}\)

Spróbujmy najpierw rozważyć wariant, o którym wspomina Jan Kraszewski, czyli opuśćmy tę zewnętrzną wartość bezwzględną:

\(\displaystyle{ \left| x^{2} - 4\right| -1=p}\)

Dla \(\displaystyle{ x^{2} - 4 \ge 0}\), czyli dla \(\displaystyle{ x \in \left(- \infty , \ -2\right\rangle \cup \left\langle2, \ \infty \right)}\) możemy opuścić moduł. Dostaniemy

\(\displaystyle{ x^{2} - 5-p=0}\)

Ta parabola będzie miała dwa miejsca zerowe \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) gdy \(\displaystyle{ 5-p>0}\), czyli gdy \(\displaystyle{ p<5}\). Dla \(\displaystyle{ p=5}\) - jedno, a dla \(\displaystyle{ p>5}\) - żadnego.

Dla \(\displaystyle{ x \in \left( -2, \ 2\right)}\) będziemy mieli równanie

\(\displaystyle{ -\left( x^2-4\right)-1=p}\)

\(\displaystyle{ -x^2+3-p=0}\)

Ta parabola ma wąsy w dół. Dwa miejsca zerowe ma wtedy, gdy \(\displaystyle{ p>3}\), jedno, gdy \(\displaystyle{ p=3}\), a nie ma, gdy \(\displaystyle{ p,3}\)
____________________________________________

Popatrzmy na drugi wariant - ten ze wszystkimi modułami:

\(\displaystyle{ \left|\left| x^{2} - 4\right| -1\right|=p}\)

Widać, że musi być \(\displaystyle{ p \ge 0}\), bo inaczej równanie będzie sprzeczne.

Jeśli to, co w zewnętrznym module jest nieujemne, czyli tam, gdzie spełniona jest nierówność \(\displaystyle{ \left| x^{2} - 4\right| -1 \ge 0}\), możemy ten moduł opuścić i problem sprowadza się do dyskusji równania

\(\displaystyle{ \left| x^{2} - 4\right| -1=p}\)

Jeśli to, co w zewnętrznym module jest ujemne, czyli tam, gdzie spełniona jest nierówność \(\displaystyle{ \left| x^{2} - 4\right| -1 < 0}\), dyskutujemy takie równanie:

\(\displaystyle{ \left| x^{2} - 4\right| -1=-p}\)

[merykin]

Narysowałem wykres \(\displaystyle{ \left| \left| x^{2}-4 \right| -1\right|}\) i z jego analizy wynika, że dwa rozwiązania są dla \(\displaystyle{ p \in \left( 3, \infty \right)}\) - a że jest taka odpowiedź, to podejrzewam, że jednak zadanie jest dobrze napisane, a tylko odpowiedź jest źle przez autora zaznaczona.

Dziękuję za pomoc.

[szw1710]

Tak - dobrze rozwiązałeś zadanie.