Całka wymierna

[Au7h]

Witam, mam pewien problem z rozwiązaniem tej całki, wychodzi inaczej niż w odpowiedziach chyba, że to kwestia przekształceń

\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{6x^2-13x+6}}\)

\(\displaystyle{ \Delta = 169 - 4 * 36 = 169 - 144 = 25}\)

\(\displaystyle{ x_1 = \frac{13 - 5 }{12} = \frac{2}{3}}\)

\(\displaystyle{ x_2 = \frac{13 + 5 }{12} = \frac{3}{2}}\)

Założenia:
\(\displaystyle{ 6x^2-13x+6 \neq 0}\)

\(\displaystyle{ 6(x-\frac{2}{3})(x-\frac{3}{2}) \neq 0}\)

\(\displaystyle{ x \neq \frac{2}{3} \wedge x \neq \frac{3}{2}}\)

\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{6x^2-13x+6} = \int \frac{dx}{6(x-\frac{2}{3})(x-\frac{3}{2})} = \frac{1}{6} \int \frac{dx}{(x-\frac{2}{3})(x-\frac{3}{2})}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{(x-\frac{2}{3})(x-\frac{3}{2})} = \frac{A}{x- \frac{2}{3} } + \frac{B}{x- \frac{3}{2} } \ /*(x- \frac{2}{3})(x- \frac{3}{2})}\)

\(\displaystyle{ 1 = A(x- \frac{3}{2})+B(x- \frac{2}{3})}\)

\(\displaystyle{ 1 = Ax - \frac{3}{2}A + Bx - \frac{2}{3}B}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 0 = A + B \Rightarrow A = - B \\ 1 = - \frac{3}{2}A + \frac{2}{3}A \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ A = - \frac{5}{6}}\)
\(\displaystyle{ B = \frac{5}{6}}\)

Wracam się do całki:

\(\displaystyle{ \frac{1}{6} \int \frac{dx}{(x-\frac{2}{3})(x-\frac{3}{2})} = \frac{1}{6}\left( - \frac{5}{6} \int \frac{dx}{x - \frac{2}{3} } + \frac{5}{6} \int \frac{dx}{x- \frac{3}{2} } \right) =}\)

\(\displaystyle{ = - \frac{5}{36}\left( ln\left| x - \frac{2}{3} \right| - ln\left| x - \frac{3}{2} \right|\right) =}\)

\(\displaystyle{ = - \frac{5}{36}ln\left| \frac{x- \frac{2}{3} }{x- \frac{3}{2} } \right| = \frac{5}{36}ln\left| \frac{x- \frac{2}{3} }{x- \frac{3}{2} } \right|^{-1} = \frac{5}{36}ln\left| \frac{x- \frac{3}{2} }{x- \frac{2}{3} } \right| + C}\)

Patrzę do odpowiedzi, a tam jest napisane:

\(\displaystyle{ ln\left| \frac{2x-3}{3x-2} \right| + C}\)

Byłbym wdziędzny, gdyby ktoś mi podpowiedział, gdzie zrobiłem błąd.

[a4karo]

\(\displaystyle{ A+B=0 \Rightarrow A=B}\) ?

[Au7h]

\(\displaystyle{ A+B=0 \Rightarrow A=B}\) ?

Przepraszam, wpadka, już poprawiłem, ale wynik dalej zły.

[mortan517]

Źle wyliczony współczynnik \(\displaystyle{ A}\)

[a4karo]

W odpowiedzi brakuje jakiejs jednej piątej:

[Au7h]

Źle wyliczony współczynnik \(\displaystyle{ A}\)

Aa, no tak, nie zauważyłem tej jedynki po lewej, dzięki, spróbuję na nowo -- 1 sty 2015, o 22:44 --

W odpowiedzi brakuje jakiejs jednej piątej:

ten przykład był z książki:
"Analiza matematyczna w zadaniach" Włodzimierz Krysicki, Lech Włodarski

[a4karo]

No i co z tego? Myślisz, że tam nie moze być błedów?

[mortan517]

Wolfram dobrze prawi, ta całka jest też tutaj , ale nie musisz tam zaglądać zanim nie zrobisz tego przykładu.

[Siemion92]

Błąd jest w układzie równań do wyliczenia współczynników A i B (zgubiłeś minusa). Ostatecznie wynik nie wyjdzie Ci taki jak w odpowiedziach ale to nie jest błędem. Wpływ na wynik ma to czy wyciągasz współczynnik a funkcji kwadratowej z mianownika przed całkę tak jak to zrobiłeś no początku obliczeń czy zostawiasz go w nawiasach tak jak to jest zrobione w rozwiązaniach z Krysickiego.
Twoim sposobem rozwiązania powinien Ci wyjść wynik

\(\displaystyle{ \frac{1}{5}ln| \frac{x- \frac{3}{2} }{x- \frac{2}{3} }| +C}\)