Czym różni się zbieżność warunkowa od bezwzględnej ?

[KiiiX]

Witam !
Jestem na pierwszym roku studiów matematycznych , ominęłam parę lekcji z analizy matematycznej ,próbuję nadrobić. Stoję w miejscu przez zadanie z kryterium Leibniza. Nie rozumiem,nie mogę nigdzie znaleźć odpowiedzi na pytanie czym się rożni zbieżność warunkowa od bezwzględnej na czym polega jak się to robi.
Przykładowe zadania \(\displaystyle{ \sum_{ \infty }^{n=1} \frac{-1^n}{ n^{2} }}\) wiem ,ze jest on bieżny bezwzględnie ale np \(\displaystyle{ \sum_{ \infty }^{n=1} \frac{-1^{n}}{n}}\) nie jest zbiezny bezwzględnie,dlaczego ?
Jeśli ktoś mógłby jasno i klarownie wytłumaczyć , najlepiej na przykładzie.

[yorgin]

Nie rozumiem,nie mogę nigdzie znaleźć odpowiedzi na pytanie czym się rożni zbieżność warunkowa od bezwzględnej na czym polega jak się to robi.

Znasz definicję zbieżności warunkowej/bezwarunkowej?

Zbieżność bezwzględna implikuje bezwarunkową. Szeregi, które nie są zbieżne bezwzględnie, bywają zbieżne warunkowo.

Przykładowe zadania \(\displaystyle{ \sum_{ \infty }^{n=1} \frac{-1^n}{ n^{2} }}\) wiem ,ze jest on bieżny bezwzględnie ale np \(\displaystyle{ \sum_{ \infty }^{n=1} \frac{-1^{n}}{n}}\) nie jest zbiezny bezwzględnie,dlaczego ?

Uwaga początkowa:

\(\displaystyle{ -1^n\neq (-1)^n}\)

Odpowiedź na pytanie staje się oczywista, gdy sprawdzisz, czy spełniona jest definicja zbieżności bezwzględnej.

Tutaj na dobrą sprawę kluczowe jest zrozumienie definicji, znajomość relacji między różnymi rodzajami zbieżności oraz zrozumienie tychże.

Drugi szereg, ale z \(\displaystyle{ (-1)^n}\) jest zbieżny warunkowo. Wynik zależy istotnie od kolejności sumowania składników.