Ciąg rekurencyjny - sinus

[lamsi]

Witam,
jak wyznaczyć w tym przypadku \(\displaystyle{ a_{n}}\), aby obliczyć granicę?

Ciąg rekurencyjny zadany jest wzorem: \(\displaystyle{ a_{n+1}=\sin (a _{n})+ a_{n} , \quad a_{1}=3}\)
Znajdź granicę \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} a_{n}}\)

Czy mogę napisać, że \(\displaystyle{ g= \sin (g) + g}\) a zatem \(\displaystyle{ \sin (g)=0 \Rightarrow g= \pi}\) ?

[Jever]

Jako że \(\displaystyle{ \sin \pi =0}\) i \(\displaystyle{ \pi \approx 3,14}\), to \(\displaystyle{ \sin 3}\) jest bliski \(\displaystyle{ 0}\). Do kolejnych wyrazów dodajemy sinusy coraz bardziej bliskie zeru, czyli liczby w sinusie będą zbiegały do \(\displaystyle{ \pi}\). I taka chyba będzie granica tego ciągu. Jak coś jest źle, to mnie poprawcie.

[yorgin]

Czy mogę napisać, że \(\displaystyle{ g= \sin (g) + g}\)

Możesz tak zapisać o ile wiesz, że istnieje granica Twojego ciągu.

a zatem \(\displaystyle{ \sin (g)=0 \Rightarrow g= \pi}\) ?

A skąd wniosek, że to właśnie \(\displaystyle{ \pi}\) jest granicą? Sinus ma nieskończenie wiele miejsc zerowych i każde z nich spełnia zależność \(\displaystyle{ g=\sin g+g}\).

Jako że \(\displaystyle{ \sin \pi =0}\) i \(\displaystyle{ \pi \approx 3,14}\), to \(\displaystyle{ \sin 3}\) jest bliski \(\displaystyle{ 0}\). Do kolejnych wyrazów dodajemy sinusy coraz bardziej bliskie zeru, czyli liczby w sinusie będą zbiegały do \(\displaystyle{ \pi}\). I taka chyba będzie granica tego ciągu.

Istotnie granica jest poprawna. Ale rozumowanie to trochę machanie rękami.

Chcąc to zadanie zrobić dobrze należałoby na przykład pokazać, że ciąg jest monotoniczny (rosnący?) oraz ograniczony (z góry?). Wtedy stosowne twierdzenie gwarantuje istnienie granicy.

Nie ma niestety gwarancji co do tego, że tą granicą jest \(\displaystyle{ \pi}\). Do tego trzeba na przykład pokazać, że \(\displaystyle{ 0<g<2\pi}\).