Część całkowita w równaniu

[ms7]

Witam.
Potrzebuję pomocy w rozwiązaniu równania z częścią całkowitą:

\(\displaystyle{ [x]^2 = [x^2]}\)

Nie mam pomysłu na to zadanie i ciężko mi ruszyć.
Prosiłbym o jakieś wskazówki.

[athame]

Jaka jest dokładnie treść zadania?

[ms7]

Dokładna treść przepisana z karteczki z kolokwium to:
Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ [x]^2 = [x^2]}\) względem niewiadomej \(\displaystyle{ x \in R}\).

[tkrass]

No to dla każdej liczby całkowitej nieujemnej \(\displaystyle{ n}\), będą rozwiązania w przedziale \(\displaystyle{ [n,sqrt{n^2+1})}\). Rozwiązania dla liczb ujemnych zostawiam jako ćwiczenie.

[ms7]

Dziękuję za odpowiedź, lecz jak to pokazać i na jakiej podstawie to stwierdzić?

[Jever]

Podstawiasz pod prawą stronę: \(\displaystyle{ x=[x]+\left\{ x\right\}}\)

Rozwiązanie:

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ [x] ^{2} = [ [x] ^{2} + 2[x]\left\{ x\right\} + \left\{ x\right\} ^{2} ]

[x] ^{2} = [x] ^{2} + [2[x]\left\{ x\right\} + \left\{ x\right\} ^{2} ]

0 = [ 2[x]\left\{ x\right\} + \left\{ x\right\} ^{2}]}\)

Podstawiamy tym razem:
\(\displaystyle{ \left\{ x\right\}=x-[x]}\)
i po kilku nietrudnych przekształceniach otrzymujemy:
\(\displaystyle{ [x ^{2} - [x] ^{2}]=0}\)
Wiadomo, że \(\displaystyle{ [a]=b \Rightarrow b \le a<b+1}\) , więc:
\(\displaystyle{ 0 \le x ^{2} - [x] ^{2}<1}\)
a z tego otrzymujemy już przedział podany wyżej (po podstawieniu \(\displaystyle{ n=[x]}\).

[ms7]

Rozumiem wszystko do momentu gdzie mam podstawić \(\displaystyle{ n=[x]}\).
Otrzymuję wtedy:

\(\displaystyle{ 0 \le x^2-n^2<1}\),

czyli muszę rozpatrzyć:

\(\displaystyle{ x^2-n^2 \ge 0 \wedge x^2-n^2<1}\)

tylko nie bardzo wiem jak doprowadzić to do przedziału który mam otrzymać.
Prosiłbym o jeszcze jakąś wskazówkę.

[tkrass]

No przecież te nierówności to dla liczb nieujemnych jest dokładnie ten przedział...

[Jever]

czyli muszę rozpatrzyć:

\(\displaystyle{ x^2-n^2 \ge 0 \wedge x^2-n^2<1}\)

Przedział otrzymasz po rozwiązaniu tych nierówności.

[ms7]

Rozwiązuję wieć
1. \(\displaystyle{ x^2-n^2 \ge 0}\)

\(\displaystyle{ x \ge \sqrt{n^2} \vee x \le -\sqrt{n^2}}\)

\(\displaystyle{ x \ge |n| \vee x \le -|n|}\)

oraz 2.
\(\displaystyle{ x^2-n^2<1}\)

\(\displaystyle{ x<\sqrt{1+n^2} \wedge x>-\sqrt{1+n^2}}\)

Co mam z tym dalej zrobić? Jak wrócić do \(\displaystyle{ [x]}\) zamiast \(\displaystyle{ n}\)?

[Jever]

Nie wracaj. Masz tutaj przedziały takie, jakie podał kolega wyżej.

[ms7]

Może to będzie głupie pytanie, ale wolę wyjść na głupka, niż nie wiedzieć...

Miałem to rozwiązać względem \(\displaystyle{ x}\), teraz mam względem \(\displaystyle{ n}\), jak to \(\displaystyle{ n}\) ma się do \(\displaystyle{ x}\), w sensie, jak zapisać rozwiązanie po iksach? Problem w tym że nie umiem zinterpretować uzyskanego rozwiązania.

[tkrass]

Rozumiem. To wróćmy do początku. Zamiast abstrakcyjnie to rozwiązywać najpierw się zastanów co to znaczy. To znaczy masz jakąś liczbę \(\displaystyle{ x}\), z jednej strony najpierw ją kwadratujesz a potem walisz entier, z drugiej robisz to odwrotnie. No i chcesz wiedzieć kiedy to będzie równe. No to zanim to rozwiążemy, to zobaczmy co się dzieje dla jakiegoś losowego \(\displaystyle{ x}\), np pomiędzy \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 3}\). Widzimy, że jak \(\displaystyle{ x=2}\), no to żyjemy. Widzimy też, że jak \(\displaystyle{ x=2+\epsilon}\) dla małych \(\displaystyle{ \epsilon}\), to też spoko. No ale widzimy też, że jak \(\displaystyle{ \epsilon}\), jest za duże, to jak najpierw będziesz kwadratował, to dostaniesz coś większego niż 5, i te operacje nie będą już komutować. Więc musimy tylko znaleźć graniczny \(\displaystyle{ \epsilon}\). No i właśnie go znalazłeś w tym rozwiązaniu, on wynosi \(\displaystyle{ \sqrt{n^2+1}-n}\). Ale teraz to jest rozwiązanie tylko dla jednego przedziału pomiędzy liczbami całkowitymi, musimy połączyć te rozwiązania dla każdego przedziału, stąd różne \(\displaystyle{ n}\). Więc ostateczne rozwiązanie będzie po prostu sumą przedziałów.