Mikroekonomia-Funkcja produkcji

[Mateuszaa3]

Proszę pomoc w rozwiązaniu zadań.

Zad. 1
W pewnej firmie funkcja produkcji ma postać \(\displaystyle{ Q=(y+1)(x+2)}\), gdzie \(\displaystyle{ Q}\) oznacza dzienną produkcję. Cena czynnika \(\displaystyle{ x}\)wynosi \(\displaystyle{ 4}\), zaś czynnika \(\displaystyle{ y \ 10}\). Oblicz ile czynnika \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) trzeba zaangażować w celu zminimalizowania kosztu produkcji, która ma osiągnąć poziom \(\displaystyle{ 180}\) jednostek.

Zad.2
Firma wytwarza produkt wg funkcji produkcji \(\displaystyle{ Q=2\sqrt{KL}}\). Cena jednostki nakładu kapitału wynosi r=9. Wyznacz postać funkcji popytu firmy na pracę w zależności od jego ceny \(\displaystyle{ L(w)}\) przy założeniu, że przedsiębiorstwo jest zainteresowane wytwarzaniem stałej wielkości produkcji równej \(\displaystyle{ 80}\)

[Lbubsazob]

Nie jestem pewna co do tego rozwiązania, ale w zad. 1 ułożyłabym następujący układ:
\(\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{ll} \frac{ \frac{ \partial U}{ \partial x} }{ \frac{ \partial U}{ \partial y} } = \frac{p_1}{p_2} \\ p_1x+p_2y=z\end{array}}\)
gdzie \(\displaystyle{ p_1, \ p_2}\) są cenami czynników \(\displaystyle{ x, \ y}\), a \(\displaystyle{ z}\) maksymalnym poziomem produkcji.

W Twoim wypadku \(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{y+1}{x+2}= \frac{4}{10} \\ 4x+10y=180 \end{cases}\ \Rightarrow}\) z tego wyznaczasz \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\).

[smallares25]

W zadaniu 1 pierwszym trzeba zapisać następujący układ.

\(\displaystyle{ K= 4\cdot x+10\cdot y \rightarrow min}\)

\(\displaystyle{ Q = \left( y+1\right)\cdot \left( x+2\right)= 180}\)

\(\displaystyle{ x,y \ge 0}\)

Rozwiązanie to można wykonać za pomocą twierdzenia Kuhna-Tuckera, ale też można posłużyć się dodatkiem SOLVER w EXCEL-u.
Rozwiązanie za pomocą ułamka dziesiętnego:

\(\displaystyle{ x=19,2132277249087 \ y=7,48527165858670}\)

Rozwiązanie za pomocą ułamka zwykłego w EXCEL-u:

\(\displaystyle{ x = 19\frac{187}{877}= \frac{16850}{877}=19,2132269\ y= 7\frac{313}{645}=\frac{4828}{645}=7,4852713}\)

Błąd względny oszacowania wyników w %:

\(\displaystyle{ \delta x\% =\frac{19,2132277249087-19,2132269}{19,2132277249087}\cdot 100\%= 0,00000429344\%}\)

\(\displaystyle{ \delta y\% =\frac{7,48527165858670-7,4852713}{7,48527165858670}\cdot 100\%= 0,00000479056\%}\)

Minimalny koszt wynosi (dla ułamków dziesiętnych):

\(\displaystyle{ K=4\cdot 19,2132277249087+10\cdot 7,48527165858670=151,705627485502}\)

Minimalny koszt wynosi (dla wyniku ułamkowego z EXCEL-a):

\(\displaystyle{ K=4\cdot \frac{16850}{877}+10\cdot \frac{4828}{645}=\frac{17162912}{1131133}=151,705620817975}\)

Błąd względny oszacowania minimalnego kosztu wynosi w %:

\(\displaystyle{ \delta K\% =\frac{151,705627485502-151,705620817975}{151,705627485502}\cdot 100\%= 0,00000439504\%}\)

Wielkość produkcji wynosi (dla ułamków dziesiętnych):

\(\displaystyle{ Q=\left(7,48527165858670+1 \right)\cdot \left( 19,2132277249087+2\right)=180,000000001314}\)

Wielkość produkcji minimalnie przekracza wielkość 180 jednostek.

Wielkość produkcji wynosi (dla wyniku ułamkowego z EXCEL-a):

\(\displaystyle{ Q=\left(\frac{4828}{645}+1 \right)\cdot \left( \frac{16850}{877}+2\right)=\frac{101819692}{565665}=179,999985857353}\)

Wielkość ułamkowa jest bliska 180 i błąd pojawia się na 5 miejscu po przecinku.

Błąd względny oszacowania wielkości produkcji wynosi w %:

\(\displaystyle{ \delta Q\% =\frac{180,000000001314-179,999985857353}{180,000000001314}\cdot 100\%= 0,00000785776\%}\)

Wszystkie błędy względne to milionowe części procenta, czyli wielkości bardzo małe.

To tyle na dziś.

[Karmazynowym1968]

Witam czy ktoś wie jak rozwiązać zadanie nr. 2 ?