Nierównosci modułowe, spójniki

[kejkun7]

Witam, zastanawiam się czy użyłem tu odpowiednio spójnika " I "
czy też powinien być " LUB "??

\(\displaystyle{ |x - \frac{3}{2}| \le \frac{1}{2}}\)

Wydaję mi się, że w przypadku \(\displaystyle{ <}\) \(\displaystyle{ \le}\) będzie to spójnik " I "
Natomiast nauczyciel na czerwono napisał "LUB".
Mam rację, czy nie mam?

\(\displaystyle{ \begin{cases} x \ge \frac{3}{2} \\ x- \frac{3}{2} \le \frac{1}{2} \end{cases}
\wedge \begin{cases} x < \frac{3}{2} \\ -x+ \frac{3}{2} \le \frac{1}{2} \end{cases}}\)

[miodzio1988]

No jak damy spójnik logiczny i to rozwiązaniem będzie zbiór pusty

[kejkun7]

czyli za każdym razem w takich przypadkach jest to spójnik " LUB " ?

a co jakby było
\(\displaystyle{ |x - \frac{3}{2}| > \frac{1}{2}}\)

?

[miodzio1988]

Jeżeli tak to rozpisujesz to tak

[Quik]

czyli za każdym razem w takich przypadkach jest to spójnik " LUB " ?

a co jakby było
\(\displaystyle{ |x - \frac{3}{2}| > \frac{1}{2}}\)

?

Wtedy:

\(\displaystyle{ x - \frac{3}{2} < -\frac{1}{2} \vee x - \frac{3}{2} > \frac{1}{2}}\)

[kejkun7]

no spoko, rozumiem natomiast, że
\(\displaystyle{ |x - \frac{3}{2}| \le \frac{1}{2}}\)


\(\displaystyle{ x - \frac{3}{2} \le \frac{1}{2} \wedge x - \frac{3}{2} \ge - \frac{1}{2}}\)

Mógłby ktoś mi wyjaśnić jak z tego sposobu w pierwszym poście dochodzimy do tego jaki tutaj spójnik wybrac, jeśli w moim sposobie zawsze stosujemy " LUB " ?

[miodzio1988]

Ale równie dobrze możesz napisać:

\(\displaystyle{ |x - \frac{3}{2}| > \frac{1}{2}}\)

tak:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x \ge \frac{3}{2} \\ x- \frac{3}{2} > \frac{1}{2} \end{cases}
\vee \begin{cases} x < \frac{3}{2} \\ -x+ \frac{3}{2} > \frac{1}{2} \end{cases}}\)

[kejkun7]

Miodzio,
"Mógłby ktoś mi wyjaśnić jak z tego sposobu w pierwszym poście dochodzimy do tego jaki tutaj spójnik wybrac, jeśli w moim sposobie zawsze stosujemy " LUB " ?"

[miodzio1988]

page.php?p=kompendium-wartosc-bezwzgledna

[kejkun7]

"Trick ten wynika z definicji wartości bezwzględnej:"
a jakby można było szerzej uzasadnić ?

\(\displaystyle{ |x| > a \Leftrightarrow \begin{cases} x > a, x \geqslant 0\\ -x > a, x < 0\end{cases}}\)

tak warunki z prawej są połączone " i "

ale jak zrobimy:

\(\displaystyle{ x > a}\)
"LUB"
\(\displaystyle{ x < -a}\)

gdy pomnoże drugą nierówność razy - 1.
Odwracam również relacja ich łączącą czy jak to mam rozumieć ?

[miodzio1988]

Masz zapamiętać tylko kiedy masz lub a kiedy i, nie jest to trudne do zapamiętania

[kejkun7]

Ale ja to pamiętam, ale chcę to uzasadnić.
Pytam skąd się to bierze. Uzasadnienie matematyczne.


\(\displaystyle{ |x| > a \Leftrightarrow \begin{cases} x > a, x \geqslant 0\\ -x > a, x < 0\end{cases}}\)

tak warunki z prawej są połączone " i "

ale jak zrobimy:

\(\displaystyle{ x > a}\)
"LUB"
\(\displaystyle{ x < -a}\)

gdy pomnoże drugą nierówność razy - 1.
Odwracam również relacja ich łączącą czy skąd bierze się ta zmiana " i " na "lub" ?

[miodzio1988]

Możesz to np sobie uzasadnić za pomocą interpretacji geometrycznej.

A jak chcesz zobaczyć na własne oczy jak coś działa to wstaw sobie konkretne \(\displaystyle{ a}\) i zobacz czy się zgadza

[Jan Kraszewski]

Ale ja to pamiętam, ale chcę to uzasadnić.

Najprościej uzasadnić to stosując interpretację graficzną wartości bezwzględnej.

\(\displaystyle{ |x| > a \Leftrightarrow \begin{cases} x > a, x \geqslant 0\\ -x > a, x < 0\end{cases}}\)

tak warunki z prawej są połączone " i "

Wcale nie są połączone "i" - ta równoważność jest nieprawdziwa.

JK

[kejkun7]

"Najprościej uzasadnić to stosując interpretację graficzną wartości bezwzględnej."

No faktycznie, racja.

A jak uzasadnić to za pomocą zapisu ?

" ta równoważność jest nieprawdziwa."
Ona pochodzi z waszej strony.
stąd: page.php?p=kompendium-wartosc-bezwzgledna
pod " Trick ten wynika z definicji wartości bezwzględnej: "