Całka podwójna po obszarze D

[jagielloma]

Witam,

mam do policzenia następującą całkę podwójną po obszarze D:

\(\displaystyle{ \int \int_{D}|2x-y|dxdy}\), \(\displaystyle{ D=\{(x,y)\in\rr^2: x\ge 0 \wedge 0 \le y \le 5-3x \}}\)

Jeśli zapiszę to w postaci iterowanej otrzymam:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{+ \infty}( \int_{0}^{5-3x}|2x-y|dy)dx}\)

Wiem, że w przypadku, gdy pod znakiem całki mamy wartość bezwzględną, trzeba rozpatrzyć dwa przypadki:
1. kiedy wyrażenie w wartości bezwzględnej jest mniejsze od 0
2. kiedy wyrażenie w wartości bezwzględnej jest większe bądź równe 0.

Pomimo, że to wiem, trochę tutaj stanąłem i nie wiem jak to do końca zrobić oraz zastanawia mnie ta nieskończoność przy całce względem x. Podpowiecie jak to dalej ruszyć?

[steal]

Na pewno górną granicą nie będzie nieskończoność. Narysuj proszę obszar po którym całkujesz i zauważ, że jest to trójkąt.

[jagielloma]

Faktycznie, moje niedopatrzenie. Poprawiłem to i mam teraz coś takiego:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{\frac {3}{5}}( \int_{0}^{5-3x}|2x-y|dy)dx}\)

Tylko teraz pojawia się pytanie jak rozpatrzeć te przedziały, dla których wnętrze wartości bezwzględnej ma różny znak?

[steal]

Dodaj do tego rysunku linię \(\displaystyle{ y=2x}\). Rozdziela obszar całkowania na dwie części: jedna część, poniżej tej linii, to obszar w którym \(\displaystyle{ y < 2x \iff 2x - y > 0}\) (co to oznacza w kontekście wartości bezględnej)?

[jagielloma]

Nie wiem czy dobrze rozumuję, ale otrzymam dwa obszary i granice całkowania po iksie będę miał różne dla dwu tych przedziałów?

[steal]

Zgadza się, to będą dwa obszary. Granice całkowania po igreku również ulegną zmianie.

[jagielloma]

Dzięki wielkie za pomoc. Rozwiązałem wszystko.