Pozwolę sobie dorzucić trzy grosze do dyskusji. Błąd w rozumowaniu chyba można zrozumieć bez odwoływania się do liczb porządkowych (a przynajmniej bez formalnego odwołania).andu pisze:Cóż, do końca nie jestem przekonany (...)
Tych zawierających siódemkę też jest nieskończenie wiele. Mamy zatem dwa ciągi, jeden złożony z liczb z "siódemkami", nazwijmy go \(\displaystyle{ b_1,b_2,\dots}\) oraz drugi - bez "siódemek": \(\displaystyle{ c_1,c_2,\dots}\)Wypiszmy wszystkie liczby wymierne z przedziału (0;1) w postaci uporządkowanego ciągu (...)
Teraz wykonajmy przegrupowanie- nazwijmy je “siódemkowe” polegające na tym, że jeżeli w rozwinięciu dziesiętnym danej liczby występuje cyfra 7, wówczas daną liczbę przenosimy na początek ciągu, zaś wszystkie liczby do tej pory występujące przed nią przesuwane są o jedno miejsce dalej. Warto zauważyć, że liczb wymiernych niezawierających w rozwinięciu dziesiętnym siódemki jest nieskończenie wiele.
To nie będzie ciąg. Po tym przegrupowaniu dostaniemy coś takiego: \(\displaystyle{ b_1,b_2,\dots, c_1, c_2, \dots}\), co ciągiem nie jest, bo między \(\displaystyle{ b_1}\) a \(\displaystyle{ c_1}\) jest nieskończenie wiele wyrazów.Rozważmy zatem ten ciąg a1,a2,a3,...
Nie zmienia to faktu, że takie przegrupowanie zawsze możemy zrobić. Ale popatrzmy, co dalej.
Zwróćmy uwagę, że w tym zbiorze - "niby-ciągu" \(\displaystyle{ a_1,a_2,\dots}\) n-ta liczba (licząc od początku) to \(\displaystyle{ b_n}\). Do liczb \(\displaystyle{ c_1,c_2}\) itd. się nie doliczymy niestety. W efekcie dostajemy coś takiego (dla ustalenia uwagi wybrałem cyfrę "1"):Utwórzmy liczbę A w następujący sposób:
*zero, przecinek
*na pierwszym miejscu po przecinku – jeżeli pierwszą cyfrą po przecinku liczby a1 jest 7 to dowolna spośród 1,2,3,4,5,8; jeżeli zaś pierwsza cyfra po przecinku liczby a1 jest różna od 7 to wybieramy 7
*na drugim miejscu po przecinku – jeżeli drugą cyfrą po przecinku liczby a2 jest 7 to dowolna spośród 1,2,3,4,5,8; jeżeli zaś druga cyfra po przecinku liczby a2 jest różna od 7 to wybieramy 7
*na trzecim miejscu po przecinku – jeżeli trzecią cyfrą po przecinku liczby a3 jest 7 to dowolna spośród 1,2,3,4,5,8; jeżeli zaś trzecia cyfra po przecinku liczby a3 jest różna od 7 to wybieramy 7
itd.
\(\displaystyle{ \text{n-ta cyfra liczby A} =
\begin{cases}
1, &\text{jeśli n-ta cyfra liczby }b_n=7,\\
7, &\text{w przeciwnym przypadku}.
\end{cases}}\).
Czyli w definicji liczby A wykorzystujemy tylko ciąg \(\displaystyle{ b_1,b_2,\dots}\).
Prawda.Uzyskana w ten sposób liczba jest liczbą z przedziału (0;1),
Jest różna tylko od liczb \(\displaystyle{ b_1,b_2,\dots}\). Nie wiadomo, jak się ma do liczb \(\displaystyle{ c_1,c_2,\dots}\).jest różna od wszystkich wypisanych
Nie wiadomo, czy ma same siódemki, bo w jej konstrukcji nie użyliśmy ciągu \(\displaystyle{ c_1,c_2,\dots}\) (tego bez żadnych "siódemek").i jest liczbą wymierną, ponieważ sposób jej tworzenia sprawia, że od pewnego momentu w rozwinięciu dziesiętnym pojawiają się same siódemki
I w tych dwóch miejscach dowód się załamuje. Bo liczba A może być np. niewymierną albo nie mieć żadnej "siódemki" w rozwinięciu.
Hmm, prawdę mówiąc, raczej nie. Stąd chyba się też biorą takie zapalczywe posądzenia o herezję itp.i mam cichą nadzieję, że też zasiałem jakieś ziarno zwątpienia... no, może pyłek....
W matematyce często się zdarza, że ktoś publikuje (nawet w bardzo dobrych czasopismach) błędne twierdzenie albo dowód z wykorzystaniem błędnej metody i przez jakiś czas to twierdzenie uznawane jest za "prawdziwe" - przynajmniej dopóki ktoś mu się bliżej nie przyjrzy. Ale szanse na odkrycie takiego błędu w rzeczach "powszechnie" znanych są w naszych czasach nikłe. (Jeśli twierdzenie jest fałszywe, to szansa wykrycia tego faktu rośnie z liczbą jego czytelników i użytkowników).
Ciekawostka: pierwszy dowód Cantora o nieprzeliczalności liczb rzeczywistych nie korzystał z metody przekątniowej. Cantor opublikował go w znanym czasopiśmie, którego redaktorem był Kronecker, a artykułowi nadał dość mylący tytuł w obawie przed Kroneckerem, który nie wierzył, że liczby niewymierne istnieją.
