Domknięcie zbioru liczb wymiernych

[derm]

Ogólnie strasznie ciężko mi idzie topologia i wszelakie dowodzenie. Mam pokazać, że na prostej euklidesowej:
\(\displaystyle{ \text{cl} \mathbb{P} = \text{cl} \mathbb{Q} = \mathbb{R}}\)
gdzie \(\displaystyle{ \mathbb{P} = \mathbb{Q} \setminus \mathbb{P}}\)
Rozumiem definicję domknięcia. Rozpisałam sobie kilka implikacji, z których nie wynika mi to, co trzeba albo po prostu nie widzę, że wynika. Proszę o jakąś wskazówkę.

[szw1710]

To proste zważywszy, że zbiór liczb wymiernych ma puste wnętrze (nie zawiera żadnego przedziału). Innymi słowy, każdy przedział zawiera zarówno liczby wymierne, jak i niewymierne, co wspólnie dowodzi gęstości obu zbiorów.

[derm]

No tak, ja to widzę. Ale czy to wystarcza? Czy nie należałoby wygenerować jakiegoś formalnego dowodu z kulą otwartą itd.? Bo ja właśnie próbowałam męczyć definicję domknięcia i wszystko się sprowadzało do tego, że "to oczywiste i widać na rysunku".

[szw1710]

Więc pokaż, że \(\displaystyle{ \QQ}\) nie zawiera żądnego przedziału. Czyż to nie oczywiste, skoro przedział jest nieprzeliczalny? Udowodnij też, że dopełnienie zbioru brzegowego (tj. zbioru o pustym wnętrzu) jest zbiorem gęstym. I masz zadanie zrobione.

[derm]

No super, to dziękuję. Robiłam to od zupełnie innej strony.

[szw1710]

To proste zważywszy, że zbiór liczb wymiernych ma puste wnętrze (nie zawiera żadnego przedziału). Innymi słowy, każdy przedział zawiera zarówno liczby wymierne, jak i niewymierne, co wspólnie dowodzi gęstości obu zbiorów.

Z pierwszego zdania nie wynika drugie - zbiór liczb całkowitych ma też tę własność, na co prywatnie zwrócił uwagę pewien kolega. Ale uwaga o tym, aby pokazać, że \(\displaystyle{ \QQ}\) nie zawiera żadnego przedziału w połączeniu z tym, że dopełnienie zbioru brzegowego jest gęste - czyli uwagi z mojego drugiego posta - wyczerpuje sprawę.

[yorgin]

szw1710, doświadczenie i obycie sprawia, że wyciągasz proste, ale "armatnie" argumenty

Z charakteryzacji ciągowej domknięca, tj \(\displaystyle{ x\in\overline{A}\iff \exists (x_n)\subset A: x_n\to x}\) wynika natychmiast teza zadania. Każda liczba całkowita oraz niewymierna jest granicą ciągu liczb wymiernych, stąd na przykład \(\displaystyle{ \overline{\QQ}=\RR}\).

[szw1710]

Sądzę, że aby to wszystko dowieść, i tak trzeba użyć wspomnianych przeze mnie narzędzi topologicznych. Polemizowałbym czy to armata. Przyznam jednak rację - to nie wymagało ode mnie więcej niż sekundy zastanowienia. Dziękuję za wyrazy uznania.