Energia potencjalna w środku Ziemi

[Danio126p]

Mam takie zadanie:

Udowodnij, że energia potencjalna masy m umieszczonej w środku Ziemi (jednorodna kula) względem nieskończoności jest równa
\(\displaystyle{ E_{p}= - \frac{3}{2} gmR}\)

[Jaworekk]

Po pierwsze energia potencjalna na powierzchni Ziemi wynosi:

\(\displaystyle{ E_{p}(R) = -\frac{GMm}{R} = -gmR}\)

Po drugie zbadajmy ile wynosi siła w dowolnym miejscu Ziemi pod powierzchnią w odległości r od środka). Siła ta pochodzi tylko od kuli o promieniu r. Przy zalozeniu ze Ziemia ma jednorodny rozkłąd gęstości \(\displaystyle{ \rho}\):

\(\displaystyle{ F_{in}(r) = - \frac{G\frac{4}{3}\pi r^{3}\rho m}{r^{2}} = -\frac{4}{3}G\pi\rho m r}\)

Siła ta zależy więc liniowo od położenia r, a w samym środku wynosi 0. Na odcinku od powierzchni do środka średnia siła wynosi więc:

\(\displaystyle{ F_{śr} = -\frac{GmM}{2R^{2}} = -\frac{gm}{2}}\)

Wykonana praca, czyli przyrost energi potencjalnej , przy przesuwaniu ciała z powierzchni Ziemi do srodka to:

\(\displaystyle{ W = \Delta E_{p} = F_{sr}*R = -\frac{1}{2}gmR}\)

Sumując:

\(\displaystyle{ E_{p} = -gmR - \frac{1}{2}gmR = -\frac{3}{2}gmR}\)

[lipa1993]

Witajcie!
Przepraszam, że odgrzebuję ale proszę o wyjaśnienie dlaczego siła jest poprzedzona minusem.

[AiDi]

Z definicji i wyboru tego, że w nieskończoności ma być równa zeru. Zazwyczaj się tak wybiera i wtedy energia potencjalna każdego układu związanego (np. dipola) jest ujemna. Żeby układ 'rozbić' trzeba dostarczyć mu energii.

[janekpogwad]

Witam,
jeszcze ja odkopię temat.

Jaka jest energia potencjalna w środku ziemi, ale względem ziemi, tzn. przyjmując, że na ziemi Ep=0. Jak to wyliczyć?

[AiDi]

Najprościej to przyjmując wynik tego zadania i dopisując jakąś stałą C - bo energia o która pytasz, różni się od tamtej właśnie o stałą. I z warunku, że na powierzchni Ziemi ma być zero wyliczasz tę stałą.