Całka z funkcji prostej

[Paylinka07]

Niech \(\displaystyle{ X = \ZZ, \Omega = 2^{X}, \mu({n}) = \frac{1}{3n}}\).
\(\displaystyle{ f(n) = \frac{1}{2n}}\) - funkcja prosta,
Obliczyć: \(\displaystyle{ \int_{\ZZ} \frac{1}{2^{n}} \dd\mu}\).

[Spektralny]

Po czym całkujesz? Po całym \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\) czy po \(\displaystyle{ \mathbb{N}}\)? Jeżeli po całym \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\) to jak zadane są miary na niedodatnich liczbach całkowitych? Jeżeli są one zerami, to mamy

\(\displaystyle{ \int_{\mathbb{Z}} f(n) \mu({\rm d}n) = \int_{\mathbb{N}} f(n) \mu({\rm d}n) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{3n 2^n} = \frac{1}{3}\log 2 = \log \sqrt[3]{2}.}\)

PS. \(\displaystyle{ f}\) nie jest funkcją prostą bo przyjmuje nieskończenie wiele wartości.