Lemat Fatou
- Paylinka07
- Użytkownik
- Posty: 142
- Rejestracja: 27 kwie 2012, o 09:32
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 2 razy
Lemat Fatou
Jak pokazać że \(\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} \inf}\) nie może być zastąpiony przez \(\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty } \sup}\) w lemacie Fatou?
Ostatnio zmieniony 3 gru 2014, o 22:12 przez Paylinka07, łącznie zmieniany 1 raz.
Lemat Fotou
Znaleźć kontrprzykład. Niedawno pomagałem w weryfikacji kontrprzykładu dla twierdzenia Lebesgue'a o zbieżności ograniczonej. Sprawdź czy czasem ten przykład nie działa. Ja nie będę tego robił.
Tu masz link: https://www.matematyka.pl/375978.htm
Tu masz link: https://www.matematyka.pl/375978.htm
- Spektralny
- Użytkownik
- Posty: 3976
- Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 929 razy
Lemat Fatou
Graficznie to jest bardzo łatwe do odgadnięcia. Powiedzmy, że chemy mieć ciąg funkcji o tej własności, że w każdym punkcie limes superior będzie równe 1, ale mimo to ich całki będą małe (np. zbiegające do 0). Spróbujmy to zrobić tak żeby się nie narobić.
Niech \(\displaystyle{ (q_n)_{n=1}^\infty}\) będzie ciągiem wszystkich liczb wymiernych z przedziału \(\displaystyle{ (0,1)}\). Dla każdego \(\displaystyle{ n}\) rozważmy zbiory
\(\displaystyle{ D_n = [q_n - \frac{1}{n}, q_n + \frac{1}{n}]\cap [0,1]}\)
Niech \(\displaystyle{ f_n = \mathbf{1}_{D_n}}\). Z gęstości zbioru liczb wymiernych mamy
\(\displaystyle{ f(x) = \limsup_{n\to \infty} f_n(x) = 1.}\)
Zatem
\(\displaystyle{ \int_0^1 f(x)\, {\rm d}x = 1}\).
Jednakże
\(\displaystyle{ \int_0^1 f_n(x)\,{\rm d}x \leqslant \frac{2}{n}\to 0}\)
gdy \(\displaystyle{ n\to \infty}\). Powyższy przykład można łatwo zmodyfikować by wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f_n}\) były ciągłe.
Niech \(\displaystyle{ (q_n)_{n=1}^\infty}\) będzie ciągiem wszystkich liczb wymiernych z przedziału \(\displaystyle{ (0,1)}\). Dla każdego \(\displaystyle{ n}\) rozważmy zbiory
\(\displaystyle{ D_n = [q_n - \frac{1}{n}, q_n + \frac{1}{n}]\cap [0,1]}\)
Niech \(\displaystyle{ f_n = \mathbf{1}_{D_n}}\). Z gęstości zbioru liczb wymiernych mamy
\(\displaystyle{ f(x) = \limsup_{n\to \infty} f_n(x) = 1.}\)
Zatem
\(\displaystyle{ \int_0^1 f(x)\, {\rm d}x = 1}\).
Jednakże
\(\displaystyle{ \int_0^1 f_n(x)\,{\rm d}x \leqslant \frac{2}{n}\to 0}\)
gdy \(\displaystyle{ n\to \infty}\). Powyższy przykład można łatwo zmodyfikować by wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f_n}\) były ciągłe.