Sprawdź czy struktura jest grupą

[insanis]

\(\displaystyle{ \left( \left\{ 0,1,2\right\}, + \right)}\)

Wiem, że musi być spełniona łączność, występowanie elementu neutralnego i odwrotnego. Tylko nie wiem za bardzo teraz jak to pokazac. Bo jesli np. łączność to:

\(\displaystyle{ \left( a \cdot b\right) \cdot c = a \cdot \left( b \cdot c\right)}\)

to co mam podstawiać pod a,b,c skoro mam do wyboru 3 elementy {0,1,2}? Sprawdzać wszystkie możliwości? Jak ma to dokładnie wyglądać ? Na studiach miałem pokazane tylko dla zbioru jednoelementowego, np. \(\displaystyle{ \left\{ 0\right\}}\), więc wszędzie podstawiało się 0.

[Premislav]

Tak w ogóle, to czy ta struktura jest zamknięta na \(\displaystyle{ +}\)? Bo na to się nie zanosi, a wtedy oczywiście nie może być grupą.

[insanis]

Zamknięta, tzn. że jest działaniem wewnętrznym?

[schleswig]

Tu w oczywisty sposób widać, że jeżeli jest to normalne dodawanie, to struktura nie jest grupą, bo + nie jest działaniem wewnętrznym. \(\displaystyle{ 1+2 = 3}\), a to już nie należy do zbioru. Chyba, że to dodawanie jest zdefiniowane jakoś inaczej, np. modulo \(\displaystyle{ (a + b) \mod 3}\), bo \(\displaystyle{ {0, 1, 2}}\) to zbiór reszt \(\displaystyle{ mod 3}\). Takie cudo jest dosyć często wykorzystywane przy pokazywaniu dzielników zera.

[insanis]

Ok. A na przykład w takim przypadku?

\(\displaystyle{ \left( \left\{ -1,1\right\}, \cdot \right)}\)

Tutaj \(\displaystyle{ \cdot}\) będzie już działaniem wewnętrznym. Więc jak sprawdzić czy jest ta struktura jest grupą.

[Premislav]

Normalnie, z definicji: sprawdzasz łączność, istnienie elementu neutralnego oraz istnienie elementu odwrotnego względem tego działania dla każdego elementu ze wskazanego zbioru.

[insanis]

No to jeśli sprawdzam łączność to

\(\displaystyle{ \left( a \cdot b\right) \cdot c = a \cdot \left( b \cdot c\right)}\)

to jak mam podstawiać te 1 i -1 ? Sprawdzać wszystkie możliwości ? że a=1, b=-1, c=-1,
pozniej a=1, b=1, c=-1 itd... ?

[Premislav]

Można po kolei sprawdzić wszystkie możliwości, ale to może działać przy tak dużym zbiorze, jak ten, a jakbyś miał sprawdzić własności dodawania modulo \(\displaystyle{ 137}\) w \(\displaystyle{ \ZZ_{137}}\), to nie zdążyłbyś na kolokwium (pomijając to, że takie rozwiązanie jest trochę brzydkie).
Twój zbiór jest podzbiorem \(\displaystyle{ \RR}\), a w \(\displaystyle{ \RR}\) zachodzi łączność mnożenia. Zatem...