Równanie różniczkowe

[Marcin007]

Mam problem z takim równaniem:

y''-2y'+y=2cosx

przy warunkach :
y(0)=-1
y'(0)=0

Pomocy

[Lady Tilly]

Spróbuj tak:
\(\displaystyle{ y''-2{\cdot}0-1=2}\) przy tym samym argumencie x=0
więc y''=3 a w związku z tym 3+y=2cosx czyli y=2cosx-3 pierwsz pochodna z tego to
y'=-2sinx i warunki zadania są spełnione.

[chlip]

faktycznie podane rozwiązanie y=2cosx-3 i y'=-2sinx spełniają warunki: y(0)=-1, y'(0)=0,
ale gdy obliczymy y''=-2cosx i wstawimy do równania, to otrzymamy prawdziwe głupoty!

[Lady Tilly]

Rzeczywiście wychodzą głupoty.Wydaje mi się, że treść zadania jest źle zapisana.

[abrasax]

karolina25,

Marcin007,
zobacz: https://matematyka.pl/viewtopic.php?p=50905&highlight=#50905

oraz https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=7072

Po otrzymaniu rozwiązania wyznaczasz konkretne wartości stałych C na podstawie podanych warunków brzegowych.

[Lady Tilly]

No to teraz wszystko jasne fajnie dowiedzieć się czegoś nowego.

[abrasax]

1. rozwiązujemy równanie jednorodne:
\(\displaystyle{ y''-2y'+y=0}\)
równanie charakterystyczne ma postać:
\(\displaystyle{ t^2-2t+1=0}\)
otrzymujemy jeden pierwiastek podwójny t=1
rozwiązania równania:
\(\displaystyle{ y_1=e^{tx}=e^x}\)
\(\displaystyle{ y_2=xe^{tx}=xe^x}\)

całka ogólna:
\(\displaystyle{ y=C_1y_1+C_2y_2=C_1e^x+C_2xe^x}\)

2. rozwiązujemy równanie niejednorodne - metoda przewidywań
ponieważ po prawej stronie równania mamy: 2cosx, przewidujemy całkę szczególną postaci:
\(\displaystyle{ y=Acosx+Bsinx}\)
wstawiamy przewidywane rozwiązanie do równania, porównujemy współczynniki przy sin i cos z lewej oraz prawej strony i wyznaczamy stałe A, B. Według mnie A=0, B=-1. Rozwiązanie: y=-sinx.

3. Ostateczne rozwiązanie równania:
\(\displaystyle{ y=C_1e^x+C_2xe^x-sinx}\)

4. korzystamy z warunków początkowych
\(\displaystyle{ y(0)=-1}\)
\(\displaystyle{ y'(0)=0}\)
na tej podstawie wyznaczamy wartości \(\displaystyle{ C_1, \ C_2}\)
Według mnie \(\displaystyle{ C_1=-1, \ C_2=2}\)

5. ostateczne rozwiązanie równania spełniające warunki brzegowe:
\(\displaystyle{ y=-e^x+2xe^x-sinx}\)

[Marcin007]

Kurcze dzieki wielkie jestescie wielcy !!!!!!!!!!