Zbadać liczbę rozwiązań równania w zależności od parametru m

[kanarinios]

1) Zbadaj liczbę rozwiązań równania \(\displaystyle{ \frac{2x^{3}}{x^{2}-9}=m}\) w zależności od wartości parametru m
2)Zbadaj liczbę rozwiązań równania \(\displaystyle{ 1+(x^{2}-3x+1) + (x^{2}-3x+1)^{2}+....=m}\)
w zależności od wartości parametru m
3) Na podstawie wykresu funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\frac{2x^{2}}{(2-x)^{2}}}\) określić liczbę rozwiązań równania \(\displaystyle{ f(x)=\frac{2x^{2}}{(2-|x|)^{2}}=m}\) w zależności od wartości parametru m

Byłbym bardzo wdzięczny ,gdyby ktoś krok po kroku objaśnił mi jak rozwiązywać te zadania
Z góry dzięki

[kropka+]

Wszędzie masz zbadać liczbę rozwiązań równania \(\displaystyle{ f(x)=m}\). Robisz to graficznie. Rysujesz wykres \(\displaystyle{ f(x)}\), czyli lewej strony. Prawa strona to pozioma linia \(\displaystyle{ y=m}\). Przesuwasz więc po wykresie ułożoną poziomo linijkę od dołu do góry i liczysz ilość punktów przecięcia linijki z wykresem (to jest liczba rozwiązań).

[kanarinios]

ok, dzięki
a jakby ktoś jeszcze mógł to zrobić, bazując na obliczeniach, a nie w sposób graficzny?

[Dilectus]

a jakby ktoś jeszcze mógł to zrobić, bazując na obliczeniach, a nie w sposób graficzny?

\(\displaystyle{ \frac{2x^{3}}{x^{2}-9}=m}\)

Pamiętajmy, że \(\displaystyle{ x \neq \pm 3}\)

\(\displaystyle{ 2x^{3}=m\left( x^{2}-9\right)}\)

Mamy więc wielomian trzeciego stopnia

\(\displaystyle{ x^3-mx^2+9m=0}\)

Czy ten wielomian może mieć więcej niż jeden pierwiastek? - To można by sprawdzić licząc ekstrema funkcji \(\displaystyle{ y=x^3-mx^2+9m}\) i sprawdzając, dla jakich wartości parametru m są dwa ekstrema - mnimum i maksimum, a jeśli są, to czy istnieje takie \(\displaystyle{ m}\), że \(\displaystyle{ y _{max} \ge 0}\) i \(\displaystyle{ y _{min} \le 0}\), bo tylko wtedy mogą być dwa lub trzy pierwiastki...

Ale do tego trzeba znać pochodne. Znasz?

Jeśli znasz, to z łatwością wyliczysz, że

\(\displaystyle{ x _{max}=0}\)

\(\displaystyle{ x _{min}= \frac{2}{3}m}\)

Wstawiasz te iksy do funkcji \(\displaystyle{ y=x^3-mx^2+9m}\), wyliczasz \(\displaystyle{ y _{max}}\) i \(\displaystyle{ y _{min}}\) i sprawdzasz, dla jakich \(\displaystyle{ m}\) \(\displaystyle{ y _{max} \ge 0}\) i \(\displaystyle{ y _{min} \le 0}\)



-- 30 lis 2014, o 22:41 --

P.S. Wielomian trzeciego stopnia ma co najmniej jeden pierwiastek. Może mieć też dwa lub trzy pierwiastki.