Sfera bez pkt

[xxmadlenxx]

Pokaż, że \(\displaystyle{ S^n\setminus \{(0,0,...,0,1)\}}\) jest homeomorficzna z \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\).

[Medea 2]

Rozrysuj przypadek \(\displaystyle{ n=1}\), wyobrażając sobie, że w \(\displaystyle{ (0,1)}\) jest żarówka - wtedy cieniem okręgu jest cała prosta.

[Spektralny]

Rozważ odwzorowanie \(\displaystyle{ f}\)

\(\displaystyle{ (x_1,x_2,\ldots,x_n, x_{n+1}) \mapsto \left(\frac{x_1}{1-x_{n+1}},\frac{x_2}{1-x_{n+1}},\ldots,\frac{x_{n}}{1-x_{n+1}}\right).}\)

Wówczas

\(\displaystyle{ f^{-1}(y_1, \ldots, y_n) = \frac{1}{\sum_{k=1}^n y_k^2 + 1}(2y_1, \ldots, 2y_n, \sum_{k=1}^n y_k^2 - 1)}\)

jest funkcją odwrotną do \(\displaystyle{ f}\).