Układ równań rekurencyjnych

[matiss]

Cześć, mam takie zadanko:
Dany jest układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x _{1}(n+1)-2x_{1}(n)+3x_{2}(n)=4\\
x_{2}(n+1)-x_{1}(n)-6x_{2}(n)=-4 \end{cases}\\
x_{1}(0)=x_{2}(0)=0}\)
Podaj prosty wzór na \(\displaystyle{ x_{1}(n)}\)
Doszedłem do rozwiązania: \(\displaystyle{ x_{1}(n)=5 ^{n} -1}\)
Tylko że doszedłem do tego chyba w mało matematyczny sposób tzn, doszedłem do wzoru:
\(\displaystyle{ x_{1}(n+1)=4+5x_{1}(n)}\)
Dzięki czemu obliczyłem kilka kolejnych wyrazów:
\(\displaystyle{ \begin{array}{|c|c|} \hline
n=0 & x=0 \\ \hline
n=1 & x=4 \\ \hline
n=2 & x=24 \\ \hline
n=3 & x=124 \\ \hline
n=4 & x=624 \\ \hline
\end{array}}\)

Dzięki temu doszedłem do własności że, różnica między kolejnymi wyrazami to:
\(\displaystyle{ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline
4 & 20 & 100 & 500 \\ \hline
\end{array}}\)
Idać dalej różnica drugiego poziomu między tymi wyrazami to
\(\displaystyle{ \begin{array}{|c|c|c|} \hline
16 & 80 & 400 \\ \hline
\end{array}}\)
A więc rośnie co \(\displaystyle{ 5,}\) jako że drugiego poziomu to \(\displaystyle{ 5}\) do kwadratu no i gdzieś mi tam wyszedł ten \(\displaystyle{ -1.}\) Tylko no właśnie, muszę to zadanie obronić i w ten sposób tego nie zrobię.

Oczywiście wyniki dla tego wzoru \(\displaystyle{ x_{1}(n)=5 ^{n} -1}\) są takie same jak te wypisane wcześniej więc rozwiązanie jest prawidłowe.

Czy może mi ktoś pomóc w opisaniu tego bardziej naukowo, tzn jak dojść do tego wzoru: \(\displaystyle{ x_{1}(n)=5 ^{n} -1}\) jakąś metodą? Chyba, że gdzieś się pomyliłem i rozwiązanie jest błędne. Siedzę nad tym już kilka godzin i niestety nic nowego nie umiem wymyślić Dzięki.

[a4karo]

Wsk: w równaniu \(\displaystyle{ x_{1}(n+1)=4+5x_{1}(n)}\) podstaw \(\displaystyle{ y(n)=x_1(n)+1}\)

[matiss]

Ok czyli to doprowadzi mnie do formy:
\(\displaystyle{ x_{1}(n+1)=5y(n)-1}\)
A to by oznaczało, że dla:
\(\displaystyle{ \begin{array}{|c|c|} \hline
n=0 & y=1 \\ \hline
n=1 & y=5 \\ \hline
n=2 & y=25 \\ \hline
\end{array}}\)
A więc \(\displaystyle{ y(n)= 5^n}\)
Teraz przyrównując to do wcześniejszego:
\(\displaystyle{ y(n)=x_1(n)+1}\)
da mi \(\displaystyle{ x_1(n)=5^n-1}\)

I to jest dobry wynik, tylko czy czegoś tu nie pominąłem?

[a4karo]

Inaczej. To by oznaczału,że \(\displaystyle{ y(n+1)=5y(n)}\), czyli że \(\displaystyle{ y}\) jest ciągiem geometrycznym

[matiss]

Ha! genialne, dzięki wielkie za pomoc

[matiss]

Potrzebuje jeszcze małej pomocy z tym zadaniem, tzn w punkcie na początku w którym po wyliczeniu kilku pierwszych wartości, potrzebuje udowodnić indukcją matematyczną, że \(\displaystyle{ x_1=-x_2}\)

Indukcja
1. dla \(\displaystyle{ n=1}\)
\(\displaystyle{ x_1(n+1)=4+5x_1(n) \\
L= x_1(2) \\
L=24 \\
P= 4+5x_1(1) \\
P=4+20=24 \\
L=P}\)
2. Założenie \(\displaystyle{ K \ge 1, n=k}\)
\(\displaystyle{ x_1(k+1)=4+5x_1(k)}\)
3. \(\displaystyle{ n=k+1}\)
\(\displaystyle{ x_1(k+2)=4+5x_1(k+1)}\)
I no właśnie, nie wiem co dalej, może ktoś pomóc?