Grupy torsyjne o nieskończonej ilości elementów

Nitka_ · Post autor: **Nitka_** » 24 lis 2014, o 20:16

Grupa torsyjna to taka, w której wszystkie elementy mają skończony rząd. Chcę znaleźć przykład grupy torsyjnej o nieskończonej ilości elementów (ale każdy z elementów ma mieć skończony rząd). Przykładem znalezionym na wikipedii jest grupa obrotów okręgu o kąt wymierny (wyrażony w stopniach).
Czy dobrze rozumiem, że, przykładowo, obrót o kąt $\displaystyle{ 2^\circ}$ generuje 180 elementów, obrót o kąt $\displaystyle{ (\frac{1}{5})\circ}$ generuje $\displaystyle{ \frac{360}{\frac{1}{5}}=1800}$ obrotów itd. Elementów mam nieskończoną ilość, ponieważ liczb wymiernych $\displaystyle{ \frac{p}{q}}$ w zakresie $\displaystyle{ $\langle 0,360\rangle}$ jest nieskończenie wiele, ale każdy z nich generuje $\displaystyle{ \frac{360}{\frac{p}{q}}}$ elementów, co jest skończoną ilością?

Chciałabym upewnić się, że dobrze rozumuję, dzięki z góry.

mol_ksiazkowy · Post autor: **mol_ksiazkowy** » 24 lis 2014, o 20:24

przykład grupy torsyjnej o nieskończonej ilości elementów

a moze $\displaystyle{ 2^X}$, gdzie $\displaystyle{ X}$ jest zbiorem nieskonczonym z działaniem różnicy symetrycznej ?

arek1357 · Post autor: **arek1357** » 25 lis 2014, o 17:44

Grupa:

$\displaystyle{ (Q_{|Z},+)}$

Nitka_ · Post autor: **Nitka_** » 25 lis 2014, o 23:35

Też, też, dziękuję, ale moje wyjaśnienie jest okej czy nie? ;p

Spektralny · Post autor: **Spektralny** » 26 lis 2014, o 00:22

Tak, idea jest ok. Możnaby ją nieco tylko sformalizować. Grupą torsyjną o jeszcze lepszych własnościach jest (przy ustalonym p).

Ogólna metoda konstrukcji grup torsyjnych: dla danego ciągu $\displaystyle{ (G_n)_{n=1}^\infty}$ grup skończonych rozważ ich sumę prostą (nie produkt prosty).