zbieżność ciągu

[anetaaneta1]

W przestrzeni \(\displaystyle{ L _{2}\left( \left[ 0,1\right] \right)}\) zbadać zbieżność ciągu:
a) \(\displaystyle{ f _{n}\left( x\right) = \sqrt[n]{t}}\)
b) \(\displaystyle{ f _{n}\left( t\right) = t ^{n}}\)

[szw1710]

A co zrobiłaś w tej sprawie?

Zauważ, że zwyczajnie dla \(\displaystyle{ t>0}\) mamy \(\displaystyle{ \sqrt[n]{t}\to 1}\). Ale to nie jest zbieżność w \(\displaystyle{ L_2}\). Może Cię jednak naprowadzi. A gdzie zmierza punktowo \(\displaystyle{ t^n}\)?

[anetaaneta1]

Właśnie nic nie zrobiłam bo nie rozumiem tego z bardzo.
Mogę liczyć na jakąś większą podpowiedź ?

\(\displaystyle{ t ^{n} \rightarrow 0}\)

[szw1710]

Policz normę w \(\displaystyle{ L_2}\) dla \(\displaystyle{ f_n(t)=t^n}\).

[anetaaneta1]

A jak mam tą normę policzyć ?

[szw1710]

Według wzoru. Przecież w przestrzeni \(\displaystyle{ \ell_2}\) poruszasz się w miarę dobrze (sąsiedni wątek), więc czemu masz kłopot w \(\displaystyle{ L_2}\)?

[anetaaneta1]

Bo nie wiem jak się w \(\displaystyle{ L _{2}}\) liczy normę

To będzie \(\displaystyle{ \left| \left| t ^{n} \right| \right| ^{2} = t ^{2n}}\) ?

[szw1710]

Nie. Najprościej, jak podam CI wzór, ale może czegoś więcej Cię nauczę prosząc o znalezienie go samodzielnie. Tak więc, jeśli \(\displaystyle{ f\in L_2[a,b]}\), to jak liczymy \(\displaystyle{ \|f\|}\)?

[anetaaneta1]

\(\displaystyle{ \left| \left| f\right| \right| = \sqrt{ \int_{a}^{b} \left| f\right| ^{2} dm }}\)

[szw1710]

Owszem - wygląda to dość dobrze. W naszym przypadku czym jest \(\displaystyle{ m}\) i jak dokładniej wygląda ta całka?

[anetaaneta1]

m jest miarą Lebesgue's a ale w jakim sensie dokładnie ?

[szw1710]

No dobrze. Więc masz tu zwyczajną całkę Riemanna, albowiem nasza funkcja jest ciągła. Policz teraz tę normę.

[anetaaneta1]

\(\displaystyle{ \left| \left| f _{n} \right| \right| = \sqrt{ \int_{0}^{1} \left| t ^{n} \right| dt } = \sqrt{ \frac{1}{2n+1} } \rightarrow 0}\) więc nasz ciąg jest zbieżny ?

[szw1710]

W środku masz literówkę, ale wynik poprawny. Ciąg jest zbieżny. Powiedz jeszcze, do jakiej funkcji.

Zauważ, że funkcja graniczna nie różni się (pod względem \(\displaystyle{ L_2}\)) od funkcji otrzymanej ze zbieżności punktowej. Utożsamiamy bowiem funkcje równe prawie wszędzie.

A teraz, gdy odpowiesz na poprzednie pytanie, policz normę dla \(\displaystyle{ f_n(t)=\sqrt[n]{t}}\).

[Spektralny]

Bo nie wiem jak się w \(\displaystyle{ L _{2}}\) liczy normę

To będzie \(\displaystyle{ \left| \left| t ^{n} \right| \right| ^{2} = t ^{2n}}\) ?

To dlaczego zadajesz pytanie o zbieżność skoro nie wiesz jaka jest norma?