zbieżność ciągu
-
- Użytkownik
- Posty: 654
- Rejestracja: 3 lis 2010, o 17:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 316 razy
- Pomógł: 1 raz
zbieżność ciągu
W przestrzeni \(\displaystyle{ L _{2}\left( \left[ 0,1\right] \right)}\) zbadać zbieżność ciągu:
a) \(\displaystyle{ f _{n}\left( x\right) = \sqrt[n]{t}}\)
b) \(\displaystyle{ f _{n}\left( t\right) = t ^{n}}\)
a) \(\displaystyle{ f _{n}\left( x\right) = \sqrt[n]{t}}\)
b) \(\displaystyle{ f _{n}\left( t\right) = t ^{n}}\)
zbieżność ciągu
A co zrobiłaś w tej sprawie?
Zauważ, że zwyczajnie dla \(\displaystyle{ t>0}\) mamy \(\displaystyle{ \sqrt[n]{t}\to 1}\). Ale to nie jest zbieżność w \(\displaystyle{ L_2}\). Może Cię jednak naprowadzi. A gdzie zmierza punktowo \(\displaystyle{ t^n}\)?
Zauważ, że zwyczajnie dla \(\displaystyle{ t>0}\) mamy \(\displaystyle{ \sqrt[n]{t}\to 1}\). Ale to nie jest zbieżność w \(\displaystyle{ L_2}\). Może Cię jednak naprowadzi. A gdzie zmierza punktowo \(\displaystyle{ t^n}\)?
-
- Użytkownik
- Posty: 654
- Rejestracja: 3 lis 2010, o 17:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 316 razy
- Pomógł: 1 raz
zbieżność ciągu
Właśnie nic nie zrobiłam bo nie rozumiem tego z bardzo.
Mogę liczyć na jakąś większą podpowiedź ?
\(\displaystyle{ t ^{n} \rightarrow 0}\)
Mogę liczyć na jakąś większą podpowiedź ?
\(\displaystyle{ t ^{n} \rightarrow 0}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 654
- Rejestracja: 3 lis 2010, o 17:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 316 razy
- Pomógł: 1 raz
zbieżność ciągu
Według wzoru. Przecież w przestrzeni \(\displaystyle{ \ell_2}\) poruszasz się w miarę dobrze (sąsiedni wątek), więc czemu masz kłopot w \(\displaystyle{ L_2}\)?
-
- Użytkownik
- Posty: 654
- Rejestracja: 3 lis 2010, o 17:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 316 razy
- Pomógł: 1 raz
zbieżność ciągu
Bo nie wiem jak się w \(\displaystyle{ L _{2}}\) liczy normę
To będzie \(\displaystyle{ \left| \left| t ^{n} \right| \right| ^{2} = t ^{2n}}\) ?
To będzie \(\displaystyle{ \left| \left| t ^{n} \right| \right| ^{2} = t ^{2n}}\) ?
zbieżność ciągu
Nie. Najprościej, jak podam CI wzór, ale może czegoś więcej Cię nauczę prosząc o znalezienie go samodzielnie. Tak więc, jeśli \(\displaystyle{ f\in L_2[a,b]}\), to jak liczymy \(\displaystyle{ \|f\|}\)?
-
- Użytkownik
- Posty: 654
- Rejestracja: 3 lis 2010, o 17:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 316 razy
- Pomógł: 1 raz
zbieżność ciągu
\(\displaystyle{ \left| \left| f\right| \right| = \sqrt{ \int_{a}^{b} \left| f\right| ^{2} dm }}\)
zbieżność ciągu
Owszem - wygląda to dość dobrze. W naszym przypadku czym jest \(\displaystyle{ m}\) i jak dokładniej wygląda ta całka?
-
- Użytkownik
- Posty: 654
- Rejestracja: 3 lis 2010, o 17:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 316 razy
- Pomógł: 1 raz
zbieżność ciągu
No dobrze. Więc masz tu zwyczajną całkę Riemanna, albowiem nasza funkcja jest ciągła. Policz teraz tę normę.
-
- Użytkownik
- Posty: 654
- Rejestracja: 3 lis 2010, o 17:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 316 razy
- Pomógł: 1 raz
zbieżność ciągu
\(\displaystyle{ \left| \left| f _{n} \right| \right| = \sqrt{ \int_{0}^{1} \left| t ^{n} \right| dt } = \sqrt{ \frac{1}{2n+1} } \rightarrow 0}\) więc nasz ciąg jest zbieżny ?
zbieżność ciągu
W środku masz literówkę, ale wynik poprawny. Ciąg jest zbieżny. Powiedz jeszcze, do jakiej funkcji.
Zauważ, że funkcja graniczna nie różni się (pod względem \(\displaystyle{ L_2}\)) od funkcji otrzymanej ze zbieżności punktowej. Utożsamiamy bowiem funkcje równe prawie wszędzie.
A teraz, gdy odpowiesz na poprzednie pytanie, policz normę dla \(\displaystyle{ f_n(t)=\sqrt[n]{t}}\).
Zauważ, że funkcja graniczna nie różni się (pod względem \(\displaystyle{ L_2}\)) od funkcji otrzymanej ze zbieżności punktowej. Utożsamiamy bowiem funkcje równe prawie wszędzie.
A teraz, gdy odpowiesz na poprzednie pytanie, policz normę dla \(\displaystyle{ f_n(t)=\sqrt[n]{t}}\).
- Spektralny
- Użytkownik
- Posty: 3976
- Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 929 razy
zbieżność ciągu
To dlaczego zadajesz pytanie o zbieżność skoro nie wiesz jaka jest norma?anetaaneta1 pisze:Bo nie wiem jak się w \(\displaystyle{ L _{2}}\) liczy normę
To będzie \(\displaystyle{ \left| \left| t ^{n} \right| \right| ^{2} = t ^{2n}}\) ?