Grupa cykliczna jest abelowa
-
xxxXMadZiaRaXxxx
- Użytkownik
- Posty: 16
- Rejestracja: 14 paź 2009, o 00:55
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Zielona Góra
Grupa cykliczna jest abelowa
Wykazać, że grupa cykliczna jest grupą abelową.
Ostatnio zmieniony 16 paź 2009, o 12:47 przez max, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Staraj się lepiej dobierać nazwy tematów, tak by lepiej wskazywały o czym może być treść zadania.
Powód: Staraj się lepiej dobierać nazwy tematów, tak by lepiej wskazywały o czym może być treść zadania.
-
Tomasz Tkaczyk
- Użytkownik
- Posty: 476
- Rejestracja: 20 cze 2008, o 21:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 93 razy
Grupa cykliczna jest abelowa
Załóżmy, że grupa \(\displaystyle{ G}\) jest grupą cykliczną.
Zatem \(\displaystyle{ (\exists a \in G)(<a>=G)}\).
Oznacza to, że \(\displaystyle{ (\forall g \in G)(\exists n \in Z)(a^{n} = g)}\).
Weźmy dowolne \(\displaystyle{ g,h \in G}\).
Wówczas \(\displaystyle{ (\exists n,m \in Z)(a^{n} = g \wedge a^{m} = h)}\).
Zatem \(\displaystyle{ g*h = a^{n}*a^{m} = a^{n+m} = a^{m+n} = a^{m}*a^{n} = h*g}\).
Ostatecznie \(\displaystyle{ G}\) jest grupą przemienną.
Zatem \(\displaystyle{ (\exists a \in G)(<a>=G)}\).
Oznacza to, że \(\displaystyle{ (\forall g \in G)(\exists n \in Z)(a^{n} = g)}\).
Weźmy dowolne \(\displaystyle{ g,h \in G}\).
Wówczas \(\displaystyle{ (\exists n,m \in Z)(a^{n} = g \wedge a^{m} = h)}\).
Zatem \(\displaystyle{ g*h = a^{n}*a^{m} = a^{n+m} = a^{m+n} = a^{m}*a^{n} = h*g}\).
Ostatecznie \(\displaystyle{ G}\) jest grupą przemienną.
-
Nitka_
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 29 lis 2013, o 19:44
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Śląsk
- Podziękował: 7 razy
Grupa cykliczna jest abelowa
Widziałam już ten dowód gdzieś, wygląda super, tylko czemu tutaj zakładamy, że * to mnożenie? Bo tylko dla mnożenia przecież działa takie prawo na potęgach, że mogę zsumować wykładniki tych samych potęg.
Co gdyby było tu jakiekolwiek inne działanie, jakieś inne niż mnożenie? Czemu udowadniamy to dla mnożenia jedynie? Czy inne przypadki się tu zawierają, a jeśli, to w jaki sposób?
Dzięki z góry.
Co gdyby było tu jakiekolwiek inne działanie, jakieś inne niż mnożenie? Czemu udowadniamy to dla mnożenia jedynie? Czy inne przypadki się tu zawierają, a jeśli, to w jaki sposób?
Dzięki z góry.
-
arek1357
Grupa cykliczna jest abelowa
W zapisie addytywnym masz analogicznie:
\(\displaystyle{ ka+la=(k+l)a}\)
\(\displaystyle{ ka+la=(k+l)a}\)
-
Nitka_
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 29 lis 2013, o 19:44
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Śląsk
- Podziękował: 7 razy
Grupa cykliczna jest abelowa
Tak, to też jest jasne, ale gdyby podejść do tematu bardziej abstrakcyjnie i za działanie wziąć na przykład składanie izomorfizmów danego wielokąta czy np. działania na permutacjach?
Rozumiem, że formalnie trzeba by ten dowód zapisać dla każdego przypadku, tak jak tutaj osobno zapisałeś mi dodawanie?
Chodzi mi o to, że chcę mieć pewność że KAŻDA grupa cykliczna jest abelowa, niezależnie od wybranego działania; na mnożeniu i dodawaniu czuję to intuicyjnie, ale chciałabym udowodnić to dla wszystkich grup za jednym zamachem. Da się?
Rozumiem, że formalnie trzeba by ten dowód zapisać dla każdego przypadku, tak jak tutaj osobno zapisałeś mi dodawanie?
Chodzi mi o to, że chcę mieć pewność że KAŻDA grupa cykliczna jest abelowa, niezależnie od wybranego działania; na mnożeniu i dodawaniu czuję to intuicyjnie, ale chciałabym udowodnić to dla wszystkich grup za jednym zamachem. Da się?
-
Andreas
- Użytkownik
- Posty: 1127
- Rejestracja: 1 lis 2008, o 22:33
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 72 razy
- Pomógł: 156 razy
Grupa cykliczna jest abelowa
\(\displaystyle{ *}\) to nie jest mnożenie, tylko dowolne działanie.Nitka_ pisze:czemu tutaj zakładamy, że * to mnożenie?
Co gdyby było tu jakiekolwiek inne działanie, jakieś inne niż mnożenie?
\(\displaystyle{ a^n}\) to skrócony zapis \(\displaystyle{ \underbrace{a*a*\ldots*a}_{n}}\)
Działa dla dowolnego działania.
\(\displaystyle{ a^n*a^m=\underbrace{a*a*\ldots*a}_{n}*\underbrace{a*a*\ldots*a}_{m}=a^{n+m}}\), a \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ m}\) są naturalne, a dodawanie liczb naturalnych jest przemienne, więc \(\displaystyle{ a^{n+m}=a^{m+n}}\).