miara zbioru

[michal422]

1. Czy zbiór liczb niewymiernych odcinaka \(\displaystyle{ [0,1]}\) jest mierzalny w sensie Lebesque'a?. Jeśli tak, to czy jego miarą Lebesgue'a jest liczba niewymierna? Odp. uzasadnij.

2. Niech \(\displaystyle{ C[0,1]}\) będzie zbiorem Cantora. Wykazać, że \(\displaystyle{ C}\) jest mierzalny w sensie Lebesque'a jest nieprzeliczalny. Wyznaczyć jego miarę.

[Spektralny]

1. \(\displaystyle{ \lambda(\mathbb{Q})=0}\)

\(\displaystyle{ \lambda ( [0,1]\setminus \mathbb{Q}) = 1-0 = 1\in \mathbb{Q}}\).

2. Zbiór Cantora jest domknięty, więc mierzalny w sensie Lebesgue'a. Jego miara wynosi 0. Miara tego co wyrzucamy z odcinka [0,1] by otrzymać zbiór Cantora wynosi

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty \frac{2^n}{3^{n+1}} = \frac{1}{3} + \frac{2}{9} + \frac{4}{27} + \frac{8}{81} + \cdots = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{1-\frac{2}{3}}\right)}\)

a więc zbiór Cantora jest miary 1 -1 =0.

[yorgin]

2. Niech \(\displaystyle{ C[0,1]}\) będzie zbiorem Cantora. Wykazać, że \(\displaystyle{ C}\) jest mierzalny w sensie Lebesque'a jest nieprzeliczalny. Wyznaczyć jego miarę.

Zbiór Cantora jest zbiorem tych liczb z odcinka \(\displaystyle{ [0,1]}\), których w rozwinięciu trójkowym nie występuje jedynka. A zatem \(\displaystyle{ C\sim \{0,2\}^\NN}\) czyli ten zbiór jest nieprzeliczalny.

[M Ciesielski]

Co do zbioru Cantora: 319221.htm#p5022858

[angelad16]

Co oznacza, że \(\displaystyle{ C\sim\{0,2\}^\NN}\) ? Z góry dziękuję za odpowiedź.

[Spektralny]

Oznacza to, że te zbiory są równoliczne.

[borkowska]

tak wiem. ale jak można rozpisac \(\displaystyle{ \{0,2\}^\NN}\). Dziękuje za odpowiedz.

[M Ciesielski]

To jest zbiór nieskończonych ciągów o wyrazach \(\displaystyle{ 0}\) lub \(\displaystyle{ 2}\).

[borkowska]

Dziękuję rozumiem.Czyli tak zbiór Cantora jest zbiorem nieprzeliczalnym bo jest rownoliczny ze zbiorem który jest nieprzeliczalny.Jasne. Tylko dlaczego akurat zb.Cantora jest równoliczny z\(\displaystyle{ \{0,2\}^N}\)?