metoda Gaussa pytanie ogólne

[rozprzedstud]

Czy w metodzie Gaussa dopuszcza się mnożenie równań celem uproszczenia rachunków przy rugowaniu zmiennych? Pytam bo jest to zbędna operacja, a nie chciałbym żeby mi zakwestionowano od tej strony sposób rozwiązania.

[Kacperdev]

Co rozumiesz przez mnożenie równań?
Może zaprezentuj na przykładzie.

[rozprzedstud]

No na przykład jak mam układ równań

\(\displaystyle{ \begin{cases}3x_1+5x_2-8x_3=4 \\ 5x_1+8x_2-13x_3=5 \\ 7x_1+12x_2-19x_3=8\end{cases}}\)

Chcę wyrugować \(\displaystyle{ x_1}\) z równań 2 i 3 i mnożę sobie pierwsze równanie obustronnie odpowiednio przez \(\displaystyle{ -\frac{5}{3}}\) i dodaję do drugiego, podobnie mnożę pierwsze równanie obustronnie \(\displaystyle{ -\frac{7}{3}}\) i dodaję je do trzeciego.
Pytam czy mogę powiedzmy przemnożyć drugie równanie obustronnie przez \(\displaystyle{ 3}\) i wtedy mnożę pierwsze równanie obustronnie przez \(\displaystyle{ -5}\) i ruguję zmienną \(\displaystyle{ x_1}\), podobnie z trzecim równaniem - mnożę je przez \(\displaystyle{ 3}\) obustronnie, a wtedy pierwsze przez \(\displaystyle{ -7}\) i ruguję \(\displaystyle{ x_1}\) z 3.go równania. Tylko właśnie nie wiem czy takie pomocnicze zbędne mnożenia są dozwolone w metodzie Gaussa, bo w notatkach z wykładu nic o tym nie mam wspomniane.

[Kacperdev]

Rozumiem, że pytasz czy możesz przemnożyć jakieś równanie przez jakąś niezerową liczbę i dodać do innego. Odpowiedź na to pytanie jest pozytywna.

W szczególności oczywiście każde z równań mnożyć obustronnie przez dowolną niezerową liczbę.

[rozprzedstud]

Tak, wiem że ta operacja nie zmienia zbioru rozwiązań układu, ale chodziło mi czy akurat metoda Gaussa obejmuje taką operację czy też taka operacja wykracza poza nią. Bo wiem, że metoda Gaussa obejmuje taką operację w celu rugowania zmiennych no ale jeżeli sobie mnożę dla wygody równania aby łatwiej mi rugować, to jakby nie było jest to zbędna operacja i zwiększam ponad potrzebę liczbę operacji w celu rozwiązania układu.

[Kacperdev]

Możesz tak robić. Oczywiście wtedy gdy zapisujesz macierz rozszerzoną o wyrazy wolne.