Działania na funkcjach mierzalnych

[angelad16]

Siedzę i się męczę z zadaniami z analizy rzeczywistej...
Mam pokazać,że jeżeli \(\displaystyle{ f:A \rightarrow \RR}\) jest funkcją mierzalną oraz \(\displaystyle{ f(x)}\) jest różne od \(\displaystyle{ 0}\) dla każdego \(\displaystyle{ x \in A}\) to funkcja \(\displaystyle{ \frac{1}{f}}\) też jest mierzalna.

[szw1710]

Funkcja \(\displaystyle{ g(x)=\frac{1}{x}}\) jako ciągła jest mierzalna. Złożenie funkcji mierzalnych jest funkcją mierzalną.

[angelad16]

Mam jeszcze bardzo podobne i nie wiem jak poradzic sobie z obcieciem.

Niech \(\displaystyle{ f:A\rightarrow\RR}\) bedzie funkcja mierzalna i \(\displaystyle{ f(x)\neq 0}\). Udowodnic mierzalnosc \(\displaystyle{ 1|f}\)

[szw1710]

Przecież powyżej dałem Ci wskazówkę do tego zadania.

[Spektralny]

Funkcja \(\displaystyle{ g(x)=\frac{1}{x}}\) jako ciągła jest mierzalna. Złożenie funkcji mierzalnych jest funkcją mierzalną.

Złożenie dwóch funkcji mierzalnych nie musi być mierzalne. Złożenie funkcji mierzalnej z funkcją ciągłą (jak w tym przypadku) jest mierzalne.

[angelad16]

Tak wiem. Tylko na uczelni powiedzieli mi ,że\(\displaystyle{ f|1}\) jest obcieciem funkcji 1 do funkcji f.

[szw1710]

Spektralny, dziękuję za zwrócenie uwagi. Zastanowię się nad kontrprzykładem.

Można go znaleźć w książce Fitzpatricka i Roydena Real analysis albo Gelbauma i Olmsteda Counterexamples in analysis. Podam tu ideę z Roydena. Istnieje funkcja osobliwa (tzn. funkcja o wahaniu skończonym z pochodną równą zero prawie wszędzie) silnie rosnąca \(\displaystyle{ f:[0,1]\to\RR}\). Bierzemy \(\displaystyle{ g(x)=x+f(x).}\) Istnieje zbiór mierzalny \(\displaystyle{ A\subset[0,1]}\) taki, że \(\displaystyle{ g(A)}\) jest niemierzalny. Następnie rozważamy funkcję odwrotną \(\displaystyle{ g^{-1}}\) i funkcję charakterystyczną zbioru \(\displaystyle{ A}\). Funkcja \(\displaystyle{ \chi_A\circ g^{-1}}\) nie jest mierzalna.

Oczywiście to tylko fakty, które trzeba udowodnić.

[angelad16]

czyli tak funkcja f jest mierzalna \(\displaystyle{ \forall_{a\in R}\{x: f(x) <a\} \in M}\) czyli funkcja 1/f można zapisać w następujący sposób \(\displaystyle{ \{x:f^{-1}(x)<a\}=\{x:1/f(x)<a\}}\) .Jak można to dalej rozpisać. Wiem,że funkcja 1/f jest funkcją ciągłą ale nie wiem jak to dalej rozpisać?

[szw1710]

Chodzi o funkcję odwrotną. Na ogół \(\displaystyle{ f^{-1}\ne\frac{1}{f}}\). W każdym razie nie ma funkcji ciągłej spełniającej ten warunek.