całka potrójna - granice całkowania, współrzędne sferyczne

[Szemek]

Oblicz:
\(\displaystyle{ \iiint\limits_V \frac{dxdydz}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}}\), gdzie \(\displaystyle{ V}\) - wnętrze sfery \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2=x}\)

Wprowadzam współrzędne sferyczne:
edit
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x = r\sin \theta \cos \phi \\
y = r\sin \theta \sin \phi \\
z = r\cos \theta \\
|J| = r^2\sin \theta \end{cases}}\)
korzystając z równania sfery określę granice całkowania dla \(\displaystyle{ r}\)
\(\displaystyle{ r^2=r\sin \theta \cos \phi \\
r(r-\sin \theta \cos \phi)=0 \\
r=0 \vee r=\sin \theta \cos \phi}\)

\(\displaystyle{ r \in [0,\sin \theta \cos \phi] \\
\theta \in [0, \frac{\pi}{2}] \\
\phi \in [0,2\pi]}\)

\(\displaystyle{ \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^{\frac{\pi}{2}} d\theta \int_0^{\sin \theta \cos \phi} r\sin \theta dr = \ldots = \frac{\pi}{3}}\)

Będę wdzięczny za sprawdzenie zadania, szczególnie w miejscu określania granic całkowania.
Z góry dzięki.

[alef0]

tylko, że w Twoim przypadku

\(\displaystyle{ (x-\frac{1}{2})^2+y^2+x^2 = r^2}\)

a nie \(\displaystyle{ x^2+y^2+x^2 = r^2}\) tak jak napisałeś

zauważ, że masz tu translacje + przejście na wsp. sferyczne a nie samą zamianę na sferyczne (w Twoim przekształceniu wnętrze sfery przekształca się na wnętrze prostopadłościanu - \(\displaystyle{ r\in [0, \frac{1}{2}]}\)

[Szemek]

Poprawiłem na: \(\displaystyle{ x=r\sin \theta \cos \phi}\)
Zasugerowałem się rozwiązaniem innego zadania i niepotrzebnie to przepisałem.
Teraz powinno się zgadzać, bo dalsze przekształcenia robiłem dla współrzędnych sferycznych bez tej translacji.

[alef0]

teraz tak