Logika. Dowodzenie twierdzeń.

[otten]

Witam. Dziś miałem pierwszą lekcję z tego tematu i nie za bardzo załapałem. A więc:
Udowodnij, że:
1. \(\displaystyle{ 19\left| \left(2 \cdot 9 ^{100}-9 ^{99}-9 ^{98} \right)}\)
2. \(\displaystyle{ n \in N^{+} \Rightarrow 9\left| \left(10^{n}+2\right)^{2}}\)
3. \(\displaystyle{ 10\left|\left(11^{10}-1\right)}\)
4. \(\displaystyle{ n \in N \Rightarrow 16\left|\left(3^{n+2}+2 \cdot3^{n+1}+3^{n}\right)}\)
5. \(\displaystyle{ n \in N \Rightarrow 60\left|\left(n^{3}-n\right)\left(n^{2}-4\right)}\)

Proszę o jakieś naprowadzenie, pomoc w rozwiązaniu. Z góry wielkie dzięki.

[czeslaw]

Wskazówka do 1: \(\displaystyle{ 2 \cdot 9^{100} - 9^{99} - 9^{98} = 9^{98}(2 \cdot 9^{2} - 9 -1)}\)

[alef0]

1. \(\displaystyle{ 2\cdot 9^{100}- 9^{99}-9^{98}=9^{98}(2\cdot 81 - 9 - 1)=9^{98}\cdot 152=9^{98}\cdot 8\cdot 19}\)

2. Z cech podzielności przez 3 \(\displaystyle{ 3|(10^n+2)}\) zatem \(\displaystyle{ 9|(10^n+2)^2}\)

3. cyfra jedności liczby równa się 0

4. \(\displaystyle{ 3^n}\) przed nawias

5. rozłożyć wielomian na czynniki liniowe i zobaczyć, że jest to iloczyn pięciu kolejnych liczb naturalnych (stąd istnieją wśród nich przynajmniej dwie liczby podzielne przez 2, przynajmniej jedna przez 3, jedna przez 5: \(\displaystyle{ 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5=60}\)