Co to za struktura algebraiczna

[szw1710]

Na pewno \(\displaystyle{ \frac{5}{6}\ZZ\subset\frac{1}{3}\ZZ+\frac{2}{3}\ZZ}\) (dlaczego)? Zbadaj jak jest z inkluzją przeciwną.

[norwimaj]

\(\displaystyle{ \frac12\ZZ+\frac13\ZZ=\frac16\ZZ,}\) ale

Problem bierze się z teorii procesów stochastycznych.
Otóż mamy proces który może wykonywać skoki zgodnie z rozkładem
\(\displaystyle{ P(X_n=a)=1-P(X_n=-b)=p,\;\;a,b\in\QQ}\)
lub też bardziej ogólnie rozkład jest rozłożony na pewnym podzbiorze liczb wymiernych, wśród których są ujemne liczby wymierne. Tak właśnie powstaje coś, co ja opisuję jako \(\displaystyle{ X\ZZ}\), ale nie bardzo wiem co to właściwie jest.

czy Tobie nie chodzi bardziej o \(\displaystyle{ \frac12\NN+\frac13\NN}\)?

[szw1710]

Z tą \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\) to ciekawe. Aż muszę sprawdzić. \(\displaystyle{ \frac{1}{2}n+\frac{1}{3}m=\frac{3n+2m}{6}}\) i się zgadza, bo \(\displaystyle{ 2\ZZ+3\ZZ=\ZZ}\). Moje intuicje związane są bardziej z analizą wypukłą. Zawiodły mnie (stąd pisałem o \(\displaystyle{ \frac{5}{6}}\)).

norwimaj, fajnie że się włączyłeś

[metamatyk]

\(\displaystyle{ \frac12\ZZ+\frac13\ZZ=\frac16\ZZ,}\) ale
czy Tobie nie chodzi bardziej o \(\displaystyle{ \frac12\NN+\frac13\NN}\)?

Nie, bo jeśli \(\displaystyle{ P(Y=-\frac{1}{3})>0}\) to jeśli
\(\displaystyle{ X_{n+1}=X_{n}+Y_{n}}\) oraz \(\displaystyle{ X_{0}=\frac{1}{2}}\) to
\(\displaystyle{ P(X_{4}=\frac{1}{2}-\frac{4}{3})>0}\)

[norwimaj]

Nie, bo jeśli \(\displaystyle{ P\left(Y=-\frac{1}{3}\right)>0}\) to (...)

Moim zdaniem pojawia się wtedy składnik \(\displaystyle{ -\frac13\NN}\), a jeśli dodatkowo wiemy, że \(\displaystyle{ P\left(Y=\frac{1}{3}\right)>0,}\) to w sumie mamy \(\displaystyle{ -\frac13\NN+\frac13\NN=\frac13\ZZ.}\)

Ale jeśli rzeczywiście chodzi Ci o \(\displaystyle{ a\ZZ+b\ZZ}\) dla \(\displaystyle{ a,b\in \QQ,}\) to możesz wyłączyć przed nawias wspólny mianownik (a właściwie jego odwrotność) liczb \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b,}\) a następnie skorzystać z tego, co już wiesz:

Dla liczb względnie pierwszych będzie zawsze
\(\displaystyle{ k\ZZ+n\ZZ=\ZZ}\)
Jeśli \(\displaystyle{ NWD(k,n)>1}\) to
\(\displaystyle{ k\ZZ+n\ZZ=NWD(k,n)\ZZ}\)