Co to za struktura algebraiczna
-
- Użytkownik
- Posty: 107
- Rejestracja: 26 lip 2004, o 02:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 6 razy
Co to za struktura algebraiczna
Hej!
Pytanie do szanownych algebraików. Jak nazywacie taki oto zbiór:
Ustalmy \(\displaystyle{ h\in\RR}\) i oznaczmy przez \(\displaystyle{ \ZZ}\) zbiór liczb całkowitych
Interesuje mnie taki obiekt:
\(\displaystyle{ h\ZZ:=\{0,h,-h,2h,2h,-3h,3h,...\}}\)
Co to za struktura algebraiczna?
Na moje oko to jest podgrupa w \(\displaystyle{ \RR}\), ale mogę się mylić.
Czy można o tym coś więcej powiedzieć?
Pytanie do szanownych algebraików. Jak nazywacie taki oto zbiór:
Ustalmy \(\displaystyle{ h\in\RR}\) i oznaczmy przez \(\displaystyle{ \ZZ}\) zbiór liczb całkowitych
Interesuje mnie taki obiekt:
\(\displaystyle{ h\ZZ:=\{0,h,-h,2h,2h,-3h,3h,...\}}\)
Co to za struktura algebraiczna?
Na moje oko to jest podgrupa w \(\displaystyle{ \RR}\), ale mogę się mylić.
Czy można o tym coś więcej powiedzieć?
Co to za struktura algebraiczna
Zbiór \(\displaystyle{ h\ZZ}\) z działaniem dodawania jest podgrupą grupy \(\displaystyle{ (\RR,+,0)}\). Masz rację. Przecież różnice elementów z \(\displaystyle{ h\ZZ}\) należą do \(\displaystyle{ h\ZZ}\). Jeśli \(\displaystyle{ h\in\ZZ}\), to mamy ideał w pierścieniu \(\displaystyle{ \ZZ}\). Zauważmy, że - jako podgrupa \(\displaystyle{ \RR}\), grupa \(\displaystyle{ (h\ZZ,+,0)}\) jest przy \(\displaystyle{ h\ne 0}\) izomorficzna z grupą \(\displaystyle{ (\ZZ,+,0)}\).
-- 12 lis 2014, o 21:42 --
Andreas, dla \(\displaystyle{ m,n\in\ZZ}\) mamy \(\displaystyle{ hm,hn\in h\ZZ}\) oraz \(\displaystyle{ hm-hn=h(m-n)\in h\ZZ}\). Nie wiem czy nie mylisz sytuacji z \(\displaystyle{ h\in\ZZ}\). Wtedy to istotnie warstwa w grupie addytywnej \(\displaystyle{ \ZZ}\).
-- 12 lis 2014, o 21:42 --
Andreas, dla \(\displaystyle{ m,n\in\ZZ}\) mamy \(\displaystyle{ hm,hn\in h\ZZ}\) oraz \(\displaystyle{ hm-hn=h(m-n)\in h\ZZ}\). Nie wiem czy nie mylisz sytuacji z \(\displaystyle{ h\in\ZZ}\). Wtedy to istotnie warstwa w grupie addytywnej \(\displaystyle{ \ZZ}\).
Ostatnio zmieniony 12 lis 2014, o 21:52 przez szw1710, łącznie zmieniany 2 razy.
-
- Użytkownik
- Posty: 1130
- Rejestracja: 1 lis 2008, o 22:33
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 72 razy
- Pomógł: 156 razy
Co to za struktura algebraiczna
Mamy grupę \(\displaystyle{ \RR}\) i jej podgrupę \(\displaystyle{ \ZZ}\).
Zbiór \(\displaystyle{ h\ZZ=\{h+z: z \in \ZZ \}}\) to lewostronna warstwa elementu \(\displaystyle{ h}\) grupy \(\displaystyle{ \RR}\) względem \(\displaystyle{ \ZZ}\).
Co jest nie tak?
Zbiór \(\displaystyle{ h\ZZ=\{h+z: z \in \ZZ \}}\) to lewostronna warstwa elementu \(\displaystyle{ h}\) grupy \(\displaystyle{ \RR}\) względem \(\displaystyle{ \ZZ}\).
Co jest nie tak?
Co to za struktura algebraiczna
Tak - mocno nie tak. Mamy \(\displaystyle{ h\ZZ=\{hm:m\in\ZZ\}}\). To, co napisałeś, to \(\displaystyle{ h+\ZZ}\).
Owszem, Twoja struktura jest warstwą. Jednak to, o co pyta autor wątku, jest czymś innym. Zaszło więc drobne nieporozumienie.
Owszem, Twoja struktura jest warstwą. Jednak to, o co pyta autor wątku, jest czymś innym. Zaszło więc drobne nieporozumienie.
Co to za struktura algebraiczna
Popatrz, jak to było definiowane w pierwszym poście:
Nic innego jak to, co napisałem powyżej. Owszem - nie powiedziano nic o działaniu grupowym. Ale nie za bardzo widzę tu sumy \(\displaystyle{ h+m}\), gdzie \(\displaystyle{ m\in\ZZ}\). W swojej odpowiedzi sprecyzowałem, o jakie działanie mi chodzi - o dodawanie i podgrupę grupy addytywnej izomorficzną z \(\displaystyle{ \ZZ}\).\(\displaystyle{ h\ZZ:=\{0,h,-h,2h,2h,-3h,3h,...\}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 1130
- Rejestracja: 1 lis 2008, o 22:33
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 72 razy
- Pomógł: 156 razy
Co to za struktura algebraiczna
No tak, nie popatrzyłem na prawą stronę równości I wyobraziłem sobie \(\displaystyle{ h \ZZ}\) jako \(\displaystyle{ \{h,1+h,-1+h,2+h,-2+h,3+h,-3+h,...\}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 107
- Rejestracja: 26 lip 2004, o 02:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 6 razy
Co to za struktura algebraiczna
Ok, to było wstępem do trochę innego pytania.
Teraz załóżmy, że mam dany jakiś podzbiór liczb wymiernych. Załóżmy dla uproszczenia, że jest skończony.
Półóżmy \(\displaystyle{ X=\{p_1,p_2,...,p_m\}}\)
Interesuje mnie coś w rodzaju "przestrzeni wektorowej" zdefiniowanej tak:
\(\displaystyle{ X\ZZ=\{p_1n_1+p_2n_2+...+p_mn_m,\;\;p_i\in X,n_i\in \ZZ\}}\)
Czy prawdą jest takie coś:
\(\displaystyle{ X\ZZ=\{NWW(p_1,...,p_m)n,\;\;n\in\ZZ\}}\)
Teraz załóżmy, że mam dany jakiś podzbiór liczb wymiernych. Załóżmy dla uproszczenia, że jest skończony.
Półóżmy \(\displaystyle{ X=\{p_1,p_2,...,p_m\}}\)
Interesuje mnie coś w rodzaju "przestrzeni wektorowej" zdefiniowanej tak:
\(\displaystyle{ X\ZZ=\{p_1n_1+p_2n_2+...+p_mn_m,\;\;p_i\in X,n_i\in \ZZ\}}\)
Czy prawdą jest takie coś:
\(\displaystyle{ X\ZZ=\{NWW(p_1,...,p_m)n,\;\;n\in\ZZ\}}\)
Co to za struktura algebraiczna
Coś z \(\displaystyle{ NWW}\) dla liczb wymiernych przesadzasz.
Zacznij badanie od dwóch liczb względnie pierwszych. Zbadaj, czym jest np. \(\displaystyle{ 2\ZZ+3\ZZ}\). Można oczywiście później przejść do liczb wymiernych.
Skalary chcesz więc brać całkowite, a wektory wymierne? Poczytaj też o modułach nad pierścieniami.
Zacznij badanie od dwóch liczb względnie pierwszych. Zbadaj, czym jest np. \(\displaystyle{ 2\ZZ+3\ZZ}\). Można oczywiście później przejść do liczb wymiernych.
Skalary chcesz więc brać całkowite, a wektory wymierne? Poczytaj też o modułach nad pierścieniami.
-
- Użytkownik
- Posty: 107
- Rejestracja: 26 lip 2004, o 02:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 6 razy
Co to za struktura algebraiczna
Dla liczb względnie pierwszych będzie zawsze
\(\displaystyle{ k\ZZ+n\ZZ=\ZZ}\)
Jeśli \(\displaystyle{ NWD(k,n)>1}\) to
\(\displaystyle{ k\ZZ+n\ZZ=NWD(k,n)\ZZ}\)
Jednak wciąż nie bardzo wiem co by było dla liczb wymiernych.
np co to jest
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\ZZ+\frac{1}{3}\ZZ}\)
Problem bierze się z teorii procesów stochastycznych.
Otóż mamy proces który może wykonywać skoki zgodnie z rozkładem
\(\displaystyle{ P(X_n=a)=1-P(X_n=-b)=p,\;\;a,b\in\QQ}\)
lub też bardziej ogólnie rozkład jest rozłożony na pewnym podzbiorze liczb wymiernych, wśród których są ujemne liczby wymierne. Tak właśnie powstaje coś, co ja opisuję jako \(\displaystyle{ X\ZZ}\), ale nie bardzo wiem co to właściwie jest.
To co mnie interesuje, to właśnie przestrzeń stanów dla tego procesu. Stąd właśnie moje pytanie.
\(\displaystyle{ k\ZZ+n\ZZ=\ZZ}\)
Jeśli \(\displaystyle{ NWD(k,n)>1}\) to
\(\displaystyle{ k\ZZ+n\ZZ=NWD(k,n)\ZZ}\)
Jednak wciąż nie bardzo wiem co by było dla liczb wymiernych.
np co to jest
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\ZZ+\frac{1}{3}\ZZ}\)
Problem bierze się z teorii procesów stochastycznych.
Otóż mamy proces który może wykonywać skoki zgodnie z rozkładem
\(\displaystyle{ P(X_n=a)=1-P(X_n=-b)=p,\;\;a,b\in\QQ}\)
lub też bardziej ogólnie rozkład jest rozłożony na pewnym podzbiorze liczb wymiernych, wśród których są ujemne liczby wymierne. Tak właśnie powstaje coś, co ja opisuję jako \(\displaystyle{ X\ZZ}\), ale nie bardzo wiem co to właściwie jest.
To co mnie interesuje, to właśnie przestrzeń stanów dla tego procesu. Stąd właśnie moje pytanie.
Ostatnio zmieniony 13 lis 2014, o 20:11 przez metamatyk, łącznie zmieniany 2 razy.