Udowodnić tożsamość

[beatka-k16]

Mam do udowodnienia następującą tożsamość \(\displaystyle{ 2 \cdot \arctan x + \arcsin( \frac{2x}{1+x ^{2} }) = \pi \cdot sgn x}\)
dla \(\displaystyle{ \left|x \right| \ge 1}\)
Czyli \(\displaystyle{ x \in (- \infty , -1> \cup <1, \infty )}\)
I teraz: \(\displaystyle{ f(x)=2 \cdot \arctan x + \arcsin( \frac{2x}{1+x ^{2} })}\)
Następnie liczę pochodną \(\displaystyle{ f'(x)= \frac{2}{1+x ^{2} } + \frac{1}{ \sqrt{1- {(\frac{2x}{1+x ^{2}}) ^ {2} } } } \cdot \frac{2-2x ^{2}}{(1+x ^{2}) ^{2} }=...=2}\)
Czyli \(\displaystyle{ f'(x)}\) jest funkcją stałą na przedziale \(\displaystyle{ x \in (- \infty , -1> \cup <1, \infty )}\)
I co dalej, bo nie wiem jaki zrobić następny krok... ?

[marek12]

podstaw teraz np \(\displaystyle{ f(1)}\)

[Kamil_B]

Źle policzyłaś pochodną funkcji f.
Błąd jest tutaj:
\(\displaystyle{ \sqrt{1- {(\frac{2x}{1+x ^{2}}) ^ {2} } }}\)
Opuściłaś moduł w jednym miejscu.
Poza tym jesli nawet \(\displaystyle{ f'(x)=2>0}\)to co najwyżej oznacza to, ze funkcja jest rosnąca -na pewno nie stała.

[marek12]

tak musi wyjsc \(\displaystyle{ f'(x)=0}\)